第五章习题第一部分01-15
[证明] 显然span( M )是X的线性子空间．设N是X的线性子空间，且M ⊆N．
则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ⊆N．
所以span( M )是包含M的最小线性子空间．
2.设B为线性空间X的子集，证明
conv(B) = {| a i≥ 0, = 1, x i∈B, n为自然数}．
[证明] 设A = {| a i≥ 0, = 1, x i∈B, n为自然数}．首先容易看出A为包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有A ⊆F，故A为包含B的最小凸集．
3.证明[a, b]上的多项式全体P[a, b]是无限维线性空间，而E = {1, t, t2, ..., tn , ...}是它的一个基底．
[证明] 首先可以直接证明P[a, b]按通常的函数加法和数乘构成线性空间，
而P[a, b]中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示．
设c0, c1, c2, ..., cm是m + 1个实数，其中cm ≠ 0，m ≥ 1．
若= 0，由代数学基本定理知c0 = c1 = c2 = ... = cm = 0，
所以中任意有限个元素线性无关，
故P[a, b]是无限维线性空间，而E是它的一个基底。
4.在 2中对任意的x = (x1, x2)∈ 2，定义|| x ||1 = | x1 | + | x2 |，|| x ||2 = (x12 + x22)1/2，|| x ||∞ = max{ | x1 |, | x2 | }．证明它们都是 2中的范数，并画出各自单位球的图形．
[证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．
[证明] ∀x, y∈cl(L)，∀a∈ ，存在L中的序列{ xn}, { yn}使得xn x，yn y．
从而x + y= lim xn + lim yn = lim (xn + yn)∈cl(L)，a x = a lim xn = lim (axn ) ∈cl(L)．
所以cl(L)是X的线性子空间．
[注] 这里cl(L)表示子集L的闭包．
6.设X为完备的线性赋范空间，M为它的闭线性子空间，x0∉ M．证明：
L = { ax0 + y | y∈M, a∈ }也是X的闭线性子空间．
[证明] 若a, b∈ ，y, z∈ M使得ax0 + y= bx0 + z，
则(a -b) x0 = z-y ∈ M，得到a = b，y = z；即L中元素的表示是唯一的．
若L中的序列{ anx0 + yn }收敛于X中某点z，则序列{ anx0 + yn }为有界序列．
由于M闭，x0∉ M，故存在∃r > 0，使得|| x0-y || ≥r，∀y∈ M．则当an≠ 0时有
| an | = | an | · r · (1/r) ≤ | an | · || x0 + yn/an || · (1/ r) = || an x0 + yn || · (1/r)，
所以数列{ an }有界，故存在{ an }的子列{ an(k)}使得an(k) a∈ ．
这时yn(k) = (anx0 + yn) -anx0 z -ax0∈ M．所以z∈L，所以L闭．
[注] 在此题的证明过程中，并未用到“X为完备的”这一条件．
7.证明：a. 在 2中，|| ◦||1，|| ◦||2与|| ◦||∞都是等价范数；b. || ◦||1与|| ◦||2是等价范数的充要条件是：X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性．
[证明] a. 显然|| 泛x ||∞≤ || x ||2 ≤ || x ||1 ≤ 2|| x ||∞，所以|| ◦||1，|| ◦||2与|| ◦||∞都是等价范数．b. 必要性是显然的，下面证明充分性．首先inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} ≥ 0．
若inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = 0，则存在X中序列{ xn}，使得|| xn||1 = 1，|| xn||2 0．
而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而|| xn||1 0．
这矛盾说明inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = a > 0．
对∀x∈X，当x ≠ 0时，|| (x/|| x ||1) ||1 = 1，所以|| (x/|| x ||1) ||2 ≥a．
故∀x∈X有a || x ||1 ≤ || x ||2．
类似地可以证明存在b > 0使得b || x ||2 ≤ || x ||1，∀x∈X．所以两个范数等价．
8.证明：Banach空间m不是可分的．[证明见教科书p187, 例]
9.证明：是可分的Banach空间．[证明见第4章习题16]
10.设X, Y为线性赋范空间，T∈B(X, Y)．证明T的零空间N(T) = { x∈X | Tx = 0 }是的闭线性子空间．
[证明] 显然N(T) = { x∈X | Tx = 0 }是X的线性子空间．对∀x∈N(T)c，Tx≠ 0，由于T是连续的，存在x的邻域U使得∀u∈U有Tu≠ 0，从而U ⊆N(T)c．故N(T)c是开集，N(T)是X的闭子空间．
11.设无穷矩阵( a i j )，( i, j = 1, 2, ...)满足，定义算子T : m m如下：y = Tx，，其中x = (ξ i ), y = (η i )∈ m．证明：T是有界线性算子，并且。
[证明] 因，及T是线性的，所以T为有界线性算子，。对任意的实数，存在自然数使得。取，使得其第个坐标，则，且。所以，故有，从而。
12.设满足对有。证明是有界线性算子，。
[证明] 显然是线性算子。因为，，所以，，可见是有界线性算子，且。令（仅第个坐标不为零），则，，，。所以。
13.证明上的泛函是有界线性泛函，且。
[证明] 显然是线性泛函。对有
，
所以是有界线性泛函，且。进一步，取使得，则。得到。
14.取定，在上定义泛函如下：。证明是有界线性泛函，。
[证明]显然是线性泛函，由，知有界。取使，则，得。
15.证明：。
[证明] 任取，显然是上有界线性泛函，且。又取使其第个坐标为其余皆为，则，。从而，进而．
另一方面，设为上有界线性泛函，令，则，，从而。对，我们令，
则．
注意到在中，以及为上有界线性泛函，
故，并且满足这样条件的是唯一的．
16.证明：n维线性赋范空间的共轭空间仍是一个n维线性赋范空间。
[证明] 设X是n维线性赋范空间，{ x1, x1, ..., xn}是它的一个基．
令f i : X X表示，∀i = 1, 2, ...．
则，注意到也是X上的范数，以及有限维线性空间上的范数都是等价的，故存在M > 0使得，所以，所以f i∈ X*．下面证明{f1,f1, ..., fn}是X*的一组基。事实上，∀f∈ X*，
，
所以。故X*为有限维空间，且维数不超过n．若，则，所以{f1,f1, ..., fn}线性无关，故X*维数为n。
17.证明：无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。
[证明] 设X是无穷维线性赋范空间，由于典范映射J : X X**是保范的线性同构，故X**必定是无穷维空间．由前面的习题16知道X*必然也是无穷维的．
18.设X是赋范空间，M为X的子集，x∈X。证明：x∈ cl( span(M) )的充分必要条件为∀f∈ X*，若f (M) = 0则f (x) = 0．
[证明] 设x∈ cl(span(M))，则对∀f∈ X*，若f (M) = 0，由于f是线性的和连续的，自然有f (cl(span(M))) = 0，从而f (x) = 0．
反过来，设x∈cl(span(M))，则d(x, cl(span(M))) > 0．由Hann-Banach定理，存在f∈ X*，使f (cl(span(M))) = 0，且f (x) = d(x, cl(span(M))) > 0，得到矛盾．
19.验证极化恒等式。
[证明] 我们只对实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的．
|| x + y ||2- || x-y ||2 = < x + y, x + y > - < x-y, x-y >
= (< x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y> ) - ( < x, x > - < x, y > - < y, x > + < y, y >)
= 4< x, y >．
20.证明由内积导出的范数|| x || = < x, x >1/2满足范数定义的三个条件。
[证明] 前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式．事实上，
|| x + y ||2 = < x + y, x + y > = || x ||2 + < x, y > + + || y ||2
= || x ||2 + 2 Re(< x, y >) + || y ||2≤ || x ||2 + 2 | < x, y > | + || y ||2
≤ || x ||2 + 2 || x || · || y || + || y ||2 = (|| x || + || y ||)2．所以三角不等式成立．
21.证明内积空间中的勾股定理。
[证明] 设x = x1+ x2，且x1⊥x2．则< x1, x2> = < x2, x1> = 0，所以
|| x ||2 = || x1+ x2 ||2 = < x1+ x2, x1+ x2> = <x1, x1 > + <x1, x2 > + <x2, x1 > + <x2, x2>
= <x1, x > + <x2, x2> = || x1||2 + || x2 ||2．
22.设X是内积空间，，。证明：。
[证明] 对，因，得，故，所以。
23.设X是内积空间，，。证明：。
[证明] 对，由，及，知，故。所以。
24.设H为Hilbert空间，M是H的线性子空间。证明：，。
[证明] 对，显然有，从而，故。若，由投影定理，设，其中，，且。此时，故有，所以，故。
由23题结果，，而对，，故，所以,因此，故有。
25.设X为内积空间，M是X的线性子空间，满足：对任何，它在M上的正交投影都存在。证明：M是X的闭线性子空间。
[证明] 对，由于存在它在上的正交投影，故可设，其中，。由26题知，而，故，所以，因此，即为的闭子空间。
26.设X为内积空间，M是X的稠密子集，{ e n }是X的标准正交系。证明：{ e n }完备的充要条件是在子集M上，Parseval等式成立．
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