数的认识
正整数 自然数
整数 零
数 负整数
●整数
1、整数的意义：自然数和0都是整数.2、自然数：我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数. 一个物体也没有,用0表示. 0是最小的自然数.3、计数单位：一〔个〕、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位. 每相邻两个计数单位之间的进率
都是10.这样的计数法叫做十进制计数法.4、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位.
整数部分 | 小数点 | 小数部分 | ||||||||||||||||
… | 亿级 | 万级 | 个级 | |||||||||||||||
数位 | … | 千亿位 | 百亿位 | 十亿位 | 亿位 | 千万位 | 百万位 | 十万位 | 万位 | 千位 | 百位 | 十位 | 个位 | . | 十分位 | 百分位 | 千分位 | … |
计数单位 | … | 千亿 | 百亿 | 十亿 | 亿 | 千万 | 百万 | 十万 | 万 | 千 | 百 | 十 | 一 或个 | 十分之一 | 百分之一 | 千分之一 | … | |
自然数▲ 数的改写
一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用 "万"或"亿"作单位的数.有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数.〔1〕、准确数：在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数.改写后的数是原数的准确数. 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿.〔2〕、近似数：根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示. 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿.〔3〕、取近似数的方法：
⊙四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小,就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1.例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万.省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿.
⊙ 进一法：实际中,使用的材料都要比计算的结果多一些 ,因此,要保留近似数的时候,省略的位上是4或者比4小,都要向前一位进1.这种取近似值的方法叫做进一法.⊙去尾法：〔4〕、大小比较⊙比较整数大小：比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大；最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大.⊙比较小数的大小：先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大；整数部分相同的,十分位上
的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……⊙比较分数的大小:分母相同的分数,分子大的分数比较大；分子相同的数,分母小的分数大.分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小.
5、倍数与因数 〔1〕整除、倍数、约数：整数a除以整数b<b ≠ 0〕,除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a . 如果数a能被数b〔b ≠ 0〕整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数〔或a的因数〕.倍数和约数是相互依存的.例如因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的约数. 一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.例如：10的约数有1、 2、5、10,其中最小的约数是1,最大的约数是10. 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身.3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ,没有最大的倍数. 〔2〕 能被2、3、5整除的数的特征：
能被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8的数
能被3整除的数：各位上数字的和能被3整除.
能被5整除的数：个位上是"0"或是"5"的数.
（3）奇偶性：能被2整除的数叫做偶数. 不能被2整除的数叫做奇数.0也是偶数.自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数.〔4〕质数与合数：一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数〔或素数〕,
100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、 59、61、67、71、73、79、83、89、97.
一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,
例如4、6、8、9、12都是合数.
1不是质数也不是合数,非0自然数除了1外,不是质数就是合数.如果把非0自然数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1.〔5〕分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式.其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如15=3×5,3和5叫做15的质因数.把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.例如把28分解质因数28=2×2×7 〔6〕公约数与公倍数：几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数.其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数,例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3
、6、9、18.其中,1、2、3、6是12和1 8的公因数,6是它们的最大公因数.公因数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况： *1和任何自然数互质.*相邻的两个自然数互质. *两个不同的质数互质. 如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是1. 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……,3的倍数有3、6、9、12、15、18 ……, 其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数.. 几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的.
▲ 数的整除
1、把一个合数分解质因数,通常用短除法.先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式. 2、求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商只有公约数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数 . 3、求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数〔或其中的部分数〕的公约数去除,一直除到互质〔或两两互质〕为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数. 4、成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ；
相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质.
● 小数
1、小数的意义 把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 表示这样的的十分之几、百分之几、千分之几…… 的数可以用小数表示. 一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分. 在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10.小数部分的最高分数单位"十分之一"和整数部分的最低单位"一"之间的进率也是10. 2、小数的分类 纯小数：整数部分是零的小数,叫做纯小数.例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数. 带小数：整数部分不是零的小数,叫做带小数. 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数. 有限小数：小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数. 例如：41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数. 无限小数：小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数. 例如： 4.33 …… 3.1415926 …… 无限不循环小数：一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数. 例如：∏ 循环小数：一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依
次不断重复出现,这个数叫做循环小数. 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 …… 一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节. 例如： 3.99 ……的循环节是" 9 " , 0.5454 ……的循环节是" 54 " . 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数. 例如： 3.111 …… 0.5656 …… 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数. 3.1222 …… 0.03333 …… 写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点.如果循环 节只有 一个数字,就只在它的上面点一个点.例如： 3.777 …… 简写作------------- 0.5302302 …… 简写作----------.
●分数
1、分数的意义 把单位"1"平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数. 在分数里,中间的横线叫做分数线；分数线下面的数,叫做分母,表示把单位"1" 平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份. 把单位"1"平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位. 2、分数的分类 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数.真分数小于1. 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数.假分数大于或等于1. 带分数：
假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数. 3、约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分. 分子分母是互质数的分数,叫做最简分数. 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分.
▲ 约分和通分
1、约分的方法：用分子和分母的公约数〔1除外〕去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止. 2、通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数.
● 百分数
1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比.
▲ 数的互化
1、小数化成分数：原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点
作分子,能约分的要约分. 2、分数化成小数：用分母去除分子.能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数. 3、一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数. 4、小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号.5、百分数化成小数：把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位. 6、分数化成百分数：通常先把分数化成小数〔除不尽时,通常保留三位小数>,再把小数化成百分数. 7、百分数化成小数：先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数.
▲ 数的性质和规律
〔一〕商不变的规律 商不变的规律：在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变. 〔二〕小数的性质 小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变. 〔三〕小数点位置的移动引起小数大小的变化 1、小数点向右移动一位,原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位,原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位,原来的数就扩大1000倍…… 2、小数点向左移动一位,原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位,原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位,原来的数就缩小1000倍…… 3、小数点向左移或者向右
移位数不够时,要用"0"补足位. 〔四〕分数的基本性质 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数〔零除外〕,分数的大小不变. 〔五〕分数与除法的关系 1、被除数÷除数= 被除数/除数 2、因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零. 3、被除数 相当于分子,除数相当于分母.
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