全体自然数之和
“全体自然数的和是-1/12”这个惊人的结论已经在互联网上传播了许多年，也有许多讨论它的文章，往期节目也触及过这个问题，本期节目集中展示了另一种常人或许可以接受的解释。
这类悖谬常理的数学结论最容易让公众产生“科学家关起门来胡闹”的错误印象，但事实并非如此，在量子物理揭示的无穷现象中，这样的结论真的能排上实际的用场。
限于表达的形式，我们无法在这期节目里充分流露出这样一种观点：数学并不仅仅是形式的演绎，不仅仅是“大脑分泌物”而已，在严格的意义上，数学更接近经验科学，它同样以模型和观察的方式，探索着客观世界面貌。
全体自然数的和是-1/12，这是怎么来的？
一个最通俗，所以也最引人争议的做法，是一种看上去很简单的算术算法：
首先令S0=1-2+3-4+5-6……
我们已经在往期节目里看到过令它收敛到1/4的方法。
再令全体自然数的和为S，减去这个S0，则有：
S-S0=0+4+0+8+0+12+0+16……
也就等于4个S，也就是说-S0等于3个S，所以S等于负十二分之一。
所以虽然往期节目里一般的收敛法不能直接求出全体自然数的和，但仍然间接暗示了这个怪异的结论。
自然数事实上，不论用什么方法计算全体自然数的和，只要不是无穷大，就是-1/12。除了上期的拉马努金和之外，我们再考虑这样一个更简单的对象：阶乘。
中学课本就讲过，某个自然数的阶乘是指把不大于这个数的自然数逐个连乘起来，写作一个感叹号。比如5！=1×2×3×4×5。1！当然是1，另外根据n！=n（n-1）！取n=1，就有0！也=1。
到此为止，一切都很简单，很可以理解——但现在如果告诉你（1/2）！=根号π/2；（-1/2）！=根号π；（-2）！=∞，你恐怕就会感到困惑了，因为这些“非自然数”的阶乘看起
来根本没有意义——如果将这种困惑用数学语言表述出来，就是1/2、-1/2、-2……之类的数字，并不在阶乘这种一元函数的定义域上。
正如同如果我们定义了函数f（x）=x+1，其中x∈[1，2]，那么f（0）就没有意义一样。
但与阶乘不同的是，这个f（x）未免太简单了，即便f（0）即便不在定义域内，我们也会不由自主地将它拓展，得到f（0）=1。然后自责到：这个函数既然没有延伸到x=0，我们又有什么理由认为它会这样延伸呢？
然而我们的确有一个极好的理由认为f（0）就=1，这个理由就是“光滑”。
乍看起来，将这一小截线段光滑地延伸出去有无穷多种方案，新加入的曲线只要能在端点处与线段相切，哪怕是儿童一笔画都没有问题。
其实并没有这么简单：我们知道，函数某一点的导数就是这一点的切线斜率，那么对于切点来说，左右两边不仅函数值相同，而且导数值也相同，因此看起来很光溜。我们可以称它为一阶可导。
但观察导数的导数，就会发现切点两侧并不相同，因此这个切点附近二阶不可导。
而数学意义上的“光滑”是指“无穷多阶都可导”，这样无穷严格的条件排除了所有单纯的相切，以至于产生了一个惊人的结论：光滑函数任取其中一小段，就能唯一确定整个函数。
所以要在数学意义上光滑地延长f（x），唯一的结果就是f（0）=1，这种满足强迫症的操作就叫“解析延拓”——这就有趣了。
阶乘是一个定义在全体自然数上的离散函数，画在平面上就是一串散点，我们会本能地心生不满，想要将它们光滑地连接起来——在这里，那些散点就相当于“一小段函数”，而那个连接延伸出来的函数，就是阶乘的解析延拓，Γ函数。
但与案例中的f（x）不同，Γ函数在形式上与阶乘毫无共通，是一个积分形式的超越函数。
我们不必对此过于介怀，毕竟是哥德巴赫在1722年向伯努利提出了这个问题，并且直到1729年才由更强大的欧拉最终解决，所以有心无力的同学只需观察这个结论即可：
对于任何自然数，可见Γ函数果然是阶乘的延拓。所以对Γ函数取负数和分数的值，就是拓展的阶乘运算了。
而要用同样的理念解决全体自然数的和就精妙得多：无穷大不是一个具体的数，我们先要设法将“全体自然数的和”浓缩在某个函数上才能尝试延拓——这个函数倒不复杂，就是这个ζ函数。“全体自然数的和”就是它在s=-1时的值。
糟糕的是，自古以来，我们就不知道这个函数的任何数值结果：当s小于1的时候它显然发散，趋于无穷，而s=1的时候它就是调和级数，我们在往期节目中证明了它不收敛——除此之外就一无所知了。
终于在1735年，欧拉证明了自然数的平方倒数和收敛于π2/6，并在此后数年研究了它的许多性质，同时计算出了全体自然数的和是-1/12这个惊人的结论，以及全体自然数的平方和是0、立方和是1/120这些同样疯狂的结论。
最终使这些结论确立起来的是黎曼，他在1859年到了ζ函数的解析延拓：
这同样是个积分形式的超越方程，其中的Γ就是阶乘延拓后的Γ函数，将s=-1带入其中，就能轻易得出全体自然数的和是-1/12这个结论。
到此为止，我们至少用四种方法得出了全体自然数的和是-1/12，但是直到今天，我们都不知
道这意味着什么，只知道在量子力学中如果遇到全体自然数和，-1/12代替无穷就总能得到最符合实验结果的数值。
仔细想一想也的确如此，无穷大从来都是人类想象出来的概念，从来都不是任何观察到的结果。
于是最有可能的情况是，正如在数轴另一头发现负数，在数轴两侧发现虚数，这一切都暗示着数轴无穷远处并非混沌一片，那里蕴藏着崭新的数学体系等待我们建立。