第二节 自然数与无穷公理
集合论的公理系统也包括初始符号，形成规则，公理，变形规则和建立定理。本节主要介绍无穷公理。
由于自然数集合是一个最基本的无穷集合，因此对自然数的研究非常重要。德国数学家L.Kronecker(1823--1891)认为自然数及其运算构成了数学的一个合适的基础。他有句名言：“上帝创造了自然数，其余一切都是人创造的”。冯.诺伊曼给出了自然数的集合表示： 0:,1:{},2:{,{}},3:{,{},{,{}}},,=∅=∅=∅∅=∅∅∅∅L 即 010{0},21{1},32{2},∅∪=∪=∪L ＝，＝，这是自然数的一般规律，故可如下定义： 定义2.1 对任意集合S ，其后继记为S +，定义为{}S S S +=∪，称S 为S +的前驱，S +
为S 的后继。
因此冯.诺伊曼给出了自然数的如下表示：
定义2.2 0,10,21,++=∅==一般的，1n n ++=。
由此可见，0，1，2，3，···不仅是自然数符号，而且也是用空集与后继表示的各个集合。自然数集合就是用后继定义的无穷集合。自然数
定义2.3 如果集合A 有性质： ()()A x x A x A +∅∈∧∀∈→∈，则称A 是一个归纳集。
无穷公理  存在一个归纳集。这句话可形式表示为
()(())A A x x A x A +∃∅∈∧∀∈→∈。
自然数集合是一个最小的归纳集。利用这个事实，就可得到我们所熟知的数学归纳法原理，即如果自然数集N 的子集S 满足
1）S ∈0，2）对所有元素N a ∈由S a S a ∈⇒∈+
，则N S =。
自然数还有一个很好的
良序性质：自然数集的任一非空子集S 都有一个最小元素，即存在一个S m ∈，使得对所有的S a ∈都有a m ≤。
第二数学归纳法：假设P(n)是关于自然数n 的一个命题，如果我们能够证明命题“P(0)为真且若P(x)对所有小于n 的自然数x 为真，必然P(n)也是真的”，那么可以断言P 对所有自然数都是真的。
除法算式：对任一对整数0,,≠b b a ，存在一对整数r q ，满足 b r r bq a <≤+=0,，
而且这样的r q ，是唯一的，r 称为a 被b 除的余数。
如果在除法算式中0=r ，则称b 整除a ，记作a b 。对于整数a,b ，若存在一个整数
c 使得a=bc，则称b 是a 的因子，a 是b 的倍数。如果两个不全为零的整数a,b 的最大公因子为1，则a,b 叫作互素。如果一个大于1的整数p 除了1±和p ±外没有其它因子，则p 叫作一个素数。
算术基本定理：每个大于1的整数a 可以分解为有限多个素数的乘积，r p p p a L 21=，而且这些素因子按大小顺序排列后，分解是唯一的。
定义2.3 设n 为一正整数，a,b 为任意整数，如果)(b a n −，则a ，b 叫作模n 同余，记作
)(mod n b a ≡，
n 叫作模数。