人教版七年级数学下册竞赛试卷
一、选择题
自然数
1．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c之间的大小关系是（  ）
A．a＜b＜c    B．c＜b＜a    C．c＜a＜b    D．a＜c＜b
2．设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c＝0，则的值是（  ）
A．正数    B．负数    C．零    D．不能确定
3．如果0＜p＜15，那么代数式|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|在p≤x≤15的最小值是（  ）
A．30    B．0   
C．15    D．一个与p有关的代数式
4．由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c＝b+d．这样的四位数共有（  ）
A．36个    B．40个    C．44个    D．48个
5．在2014，2015，2016，2017四个数中，不能表示为两个整数的平方差的数是（  ）
A．2014    B．2015    C．2016    D．2017
6．10个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点P、X、Y是小正方形的顶点，Q是边XY一点．若线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则的值为（  ）
A．    B．    C．    D．
二．填空题
7．关于x的不等式组恰好只有三个整数解，则a的取值范围是    　
8．已知，，，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为    　．
9．已知x、y为正整数，且满足2x2+3y2＝4x2y2+1，则x2+y2＝    　．
10．使代数式的值为整数的全体自然数x的和是    　．
11．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2…，第n个三角形数记为xn，则x10＝    　；xn+xn+1＝    　．
12．已知S＝，则S的整数部分是    　．
三．解答题
13．（20分）（1）证明：1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一个完全平方数；
（2）证明：98n+4﹣78n+4能被8整除（n为正整数）．
14．（14分）已知实数a、b、c，满足abc≠0且（a﹣c）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，求的值．
15．（14分）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则[x]＝n．如：[2.9]＝3，[2.4]＝2，[x]＝n，求满足[x]＝x﹣2的所有实数x的值．
16．（14分）有n个连续的自然数1，2，3，…，n，若去掉其中的一个数x后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n和x的值分别是    　．（参考公式：Sn＝1+2+3+…+n＝）
17．（14分）设a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，a3+b3+c3＝36．
求（1）abc的值；
（2）a4+b4+c4的值．
18．（14分）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD＝∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是    　．

参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共30分）
1．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c之间的大小关系是（  ）
A．a＜b＜c    B．c＜b＜a    C．c＜a＜b    D．a＜c＜b
【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可．
【解答】解：∵a2＝2000+2，b2＝2000+2，c2＝4000＝2000+2×1000，
1003×997＝1 000 000﹣9＝999 991，
1001×999＝1 000 000﹣1＝999 999，
10002＝1 000 000．
∴c＞b＞a．
故选：A．
2．设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c＝0，则的值是（  ）
A．正数    B．负数    C．零    D．不能确定
【分析】由a+b+c＝0，则b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，
然后代入化简即可得出答案．
【解答】解：由a+b+c＝0，则b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+b2﹣c2＝﹣2ab，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，
代入，
＝++，
＝，
＝0．
故选：C．
3．如果0＜p＜15，那么代数式|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|在p≤x≤15的最小值是（  ）
A．30    B．0   
C．15    D．一个与p有关的代数式
【分析】根据x、p的取值范围，根据所给代数式，简化原式，再把x的最大值15代入计算即可．
【解答】解：∵p≤x≤15，
∴x﹣p≥0，x﹣15≤0，x﹣p﹣15≤0，
∴|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|＝x﹣p+（15﹣x）+（﹣x+p+15）＝x﹣p+15﹣x﹣x+p+15＝﹣x+30，
又∵p≤x≤15，
∴x最大可取15，
即x＝15，
∴﹣x+30＝﹣15+30＝15．
故选：C．
4．由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c＝b+d．这样的四位数共有（  ）
A．36个    B．40个    C．44个    D．48个
【分析】由题意可知这样的四位数可分别从使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，（2）使用2个不同的数字，（3）使用3个不同的数字，（4）使用4个不同的数字，然后分别分析求解即可求得答案．
【解答】解：根据使用的不同数字的个数分类考虑：
（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个．
（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）．
如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；
同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个．
因此，这样的四位数共有6×4＝24个．
（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个．