课程目标
知识点 | 考试要求 | 具体要求 | 考察频率 |
因数的个数定理 | B | 1、了解因数的个数的概述。 2、熟练运用因数个数定理来求出一个数的因数的个数。 | 少考 |
知识提要
因数的个数定理
∙因数的个数定理因数的个数等于不同质因数的指数分别加1后再相乘的积。
∙因数个数性质当因数个数为奇数的时候，这个数一定是完全平方数．
精选例题
因数的个数定理
1. 数有个因数，数有个因数，且、的最小公倍数，那么．
【答案】
2. 整除的数称为的因数，和显然整除，称为的平凡因数，除了平凡因数，还有一些非平凡因数，那么，的所有非平凡因数之和为．
【答案】
【分析】〔解法一〕
所有的约数和为
的所有非平凡因数之和为
〔解法二〕由于该数比拟小，可以直接写出的所有约数
的所有非平凡因数之和为
3. 有一列数，第个是，从第个数起，每个数比它前面相邻的数大，最后一个数是，将这些数相乘，那么在计算结果的末尾中有个连续的零．
【答案】
【分析】这一列数为，，，，，要求他们相乘的积中的个数，到因数和的个数即可，又因为因数的个数远多于的个数，所以到的个数即为积中末尾的个数，的倍数有，，，，，，共个，所以有个．
4. 的不同约数〔除外〕的个数是．
【答案】
【分析】
的约数〔除外〕有：、、、、、、、、、、，共个．
5. 数学小组原方案将个苹果发给学生，每人发的苹果数量一样多，后来又有人参加小组，这样每个学生比原方案少发了个苹果．那么，原来有名学生．
【答案】
【分析】前后两次每人分到的苹果数量相差，且都是的因数，的相差的因数对有、、和，经试因数对符合要求：前后人数分别为
和
6. 自然数甲有个约数，那么甲的倍的约数个数可能是．
【答案】、、、或
【分析】详解：甲含有约数、的情况与否，会影响最终的约数个数，分情况讨论，得约数个数有五种可能：、、、和．例如：、、、、的倍分别有、、自然数、、个约数．
7. 老师用至这十个数字组成了五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了这五名聪明且老实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：
说：“我的数最小，而且是个质数．〞
说：“我的数是一个完全平方数．〞
说：“我的数第二小，恰有个因数．〞
说：“我的数不是最大的，我已经知道三人手中的其中两个数是多少了．〞
说：“我的数是某人的数的倍．〞
那么这五个两位数之和是．
【答案】
【分析】的话可知，的十位是，又因为是质数，所以有可能是，，；
能断定自己的数第二小，且有个因数，所以可能是，，；
是完全平方数，但不能含有和，所以有可能是，，；
能断定自己不是最大的，说明他的数是或或十位数不超过，但大于等于；
是某人的数的倍，由上面信息可知，只能是，且推得为，那么为
最后根据能知道三人手中两个数，试验可知，手中数分别为，，
综上所述，五个两位数之和是
8. 能被整除且恰有个约数的数有个．
【答案】个
【分析】，所以原数肯定含有，，，这四个质因子，而且幂次一定按照某种顺序是，，，，可以任意排列，所以有个
9. 所有的倍数中，共有多少个数恰有个因数？
【答案】
【分析】设的倍恰有个因数．，有：，因为不整除，所以内可能有、、．假设有个不同质因数，但只能表示为，所以内必含、、中几个，即，，分别是，，中一个．为，，，，，，一共组．
10. 表示自然数的约数的个数．例如有，，三个约数，可以表示成．计算：．
【答案】
【分析】因为，有约数个为
所以，同样可知，．
11. 两数乘积为，而且己知其中一数的因数个数比另一数的因数个数多，那么这两个数分别是、．
【答案】、
【分析】先将分解质因数：，由于其中一数的因数个数比另一数的因数个数多，所以这两个数中有一个数的因数为奇数个，这个数必为完全平方数．又是的因数，故这个数只能为、、、或，另一个数相应地为、、、或．经检验，只有两数分别为和时符合条件，所以这两个数分别是和．
12. 算式的乘积末尾有个连续的．
【答案】
【分析】详解：乘数、、、、中含有因数，都除以得到、、、、；其中、、、还含有因数，都除以，得到、、、、．其中、里还含有因数．我们第一次除掉了个，第二次除掉了个，最后还剩下两个因数．说明含有个约数，由于其中含有的约数是足够多的，因而的的个数就等于约数的个数，是个．
13. 的倍数中，共有个数恰有个约数．
【答案】个
【分析】的倍数可以表示为，由于，如果有不同于，，的质因数，那么至少有个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为
其中．如果这个数恰有个约数，那么
但是不能分解成个大于的数的乘积，所以时不合题意，即不能有不同于，，的质因数．那么只有，，这个质因数．设，那么
、、分别为，，，共有种选择，每种选择对应一个，所以的倍数中共有个数恰有个约数．
14. 四位数的所有因数中，有个是质数，其它个不是质数．那么，四位数有个因数．
【答案】
【分析】共有个因数，且有个质因数，所以它的质因数分解形式为
而
所以三个质因数中有一个是，所以至少是
稍微大一点点就是
已经是五位数了，所以，所以
有个因数．
15. 的全部约数有个，这些约数的和数是．
【答案】；
【分析】详解：，约数有个，约数之和是．
16. 自然数有个正约数，的最小值为．
【答案】
【分析】先将写成几个数相乘的形式，再写成几个和的积的形式，最后利用约数个数的公式解题：
① ，的最小值为：，
② ，的最小值为：，
③ ，的最小值为：，
④ ，的最小值为：．
17. 有个约数，且被整除最小的自然数是．
【答案】
【分析】因为被整除，所以一定含有质因数，，．
有个约数的自然数有：因为必须含有个不同的质因数，所以最小的只能是：
所以有个约数且被整除的最小自然数是．
18. 那么的小数点后第位是．
【答案】
【分析】首先，
即小数点后第，，，…位都是，其它为都是所以当是的因数时，化成小数后，小数点后第位是，其余情况小数点后第位是有个因数，在不考虑进位的情况下，这一位上有个相加，这一位的数字是，下面考虑进位，因为是质数，所以位上只有个相加，单独不构成进位，而，有个因数，本身也缺乏以向第位进位，显然位即以后都缺乏以进位到为，所以第位是
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