计算-公式类计算-连续自然数的立方和公式-2星题
课程目标
知识点
考试要求
具体要求
考察频率
平方和公式
B
1.熟悉平方和公式
2.运用公式进行复杂的计算。
少考
知识提要
平方和公式
∙平方和公式
精选例题
平方和公式
1. 计算： =．
【答案】
【分析】
2. 计算：．
【答案】
【分析】
3. ，那么．
【答案】
【分析】
因为
所以
故．
4. 计算： =．
【答案】
【分析】
5. 计算： =．
【答案】
【分析】
6. 计算： =．
【答案】
【分析】
7. 计算： =．
【答案】
【分析】
8. 计算：．
【答案】
【分析】
9. 计算： =．
【答案】
【分析】
10. 计算： =．
【答案】
【分析】
11. 计算：．
【答案】
【分析】
12. 计算：．
【答案】
【分析】
13. 计算：．
【答案】
【分析】
14. 计算：．
【答案】
【分析】原式缺少前几项，可以先补上前几项，再减去前几项，再利用公式进行求解．
15. ．
【答案】
【分析】因为
所以
当时，
16. ．
【答案】
【分析】此题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：
所以原式
另解：由于，所以
原式
采用此种方法也可以得到
17. 正整数分解质因数可以写成，其中是自然数．如果的二分之一是完全平方数，的三分之一是完全立方数，的五分之一是某个自然数的五次方，那么的最小值是．
【答案】
【分析】的二分之一是完全平方数，是的倍数；的三分之一是完全立方数，是的倍数；的五分之一是某个自然数的五次方，是的倍数；要的值最小，分别求满足条件的值：是的倍数，的最小值为，是的倍数，的最小值为，是的倍数，的最小值为，所以的最小值是：．
18. 计算： =．
【答案】
【分析】分拆〔〕，〔〕，，再用公式，
19. 规定，计算：．
【答案】
【分析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用次，然后再求和．但是我们注意到要求的项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中，所以，我们不妨把代入原定义．
就变成了
所以，，，，那么
20. ．
【答案】
【分析】．
21. 围棋棋盘是由自然数条横线和条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？
【答案】个
【分析】简答：按正方形的大小分类，共有．
22. 除以的余数是多少？
【答案】
【分析】由于