2021届全国十大名校三月大联考名师密卷-数学模拟试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)满足/(l-x) = /(l + x)，当X>1时，/(x) = x--，贝!]{X|/(X+2)>1)=( )
A. {巾〈-3或x>0}
B. {巾V。或x>2}
C. {/工〈一2或x>0}
D. {x|xv2或x〉4}
2.为了得到函数y = sin|^2x-^的图象，只需把函数y = sin2x的图象上所有的点( )
A.向左平移£个单位长度
B.向右平移£个单位长度
6    6
C.向左平移三个单位长度
D.向右平移壬个单位长度
12 12
3.已知p:cosx = sing+j , q-x = y则p 是勺的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2    2
4.双曲线C：「-与=1 (。>0，力>0)的离心率是3，焦点到渐近线的距离为J3，则双曲线C的
a~ b~
焦距为( )
A. 3
B. 3A/2
C. 6
D. 6A?2
5.若函数f(x) = x3-m X2+2x(meR)在x = l处有极值，则f(x)在区间[0,2] ±的最大值为( )全国十大名校
14
A. —
B. 2
C. 1
D. 3
27
6.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”(整数部分)及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和，，全步,,，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸(未通者)分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：n = 2及"=3时, 如图：
值范围是( )
A, (—co,0) (0,1) B, (―oo,0) U(1, +oo) C. (一8,0)
D, (0,l)u(l,+co)
8.执行如图所示的程序框图，当输出的S = 2时，则输入的S 的值为()
9.已知集合A = (x|-1<^},B = {%|1 一世5}，定义集合A*B = {z\z = x+y,x^A,yeB}，则
A. [x\-6<x… 1)
D. (% | -5 < x,, 6}
10.设/■(*)为定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x) = log2(x + l) + a 》2 — " + 1(。为常数)，则不等式 /(3x+4)>-5
的解集为()
A. 147
B. 294
C. 882
D. 1764
7. log 】 x,x>0
巳知函数/(%) = <
a
riv bj *。
，若关于X 的方程/'[/■(x)] = 0有且只有一个实数根，则实数。的取
w = 3
记&为每个序列中最后一列数之和，则$6为(
)
A. (YO,—1)
B. (—1,+oo)
C. (-00,-2)
D. (-2,+co)
11.已知邕是等差数列{%}的前〃项和，若S3+a t =S2，气=6，则禹=( )
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
12，如果b<a<0，那么下列不等式成立的是( )
』I
A. log2 Z? <log2 «
C. b3>a D・ab<b2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.定义在R上的偶函数f(X)满足f{e+x) = f{e-x)，且/(0)= 0，当xc(0,e］时，/(x) = lnx.
已知方程f(A-)=|sinf^A-j在区间［-e,3e］上所有的实数根之和为3ea .将函数
g(x) = 3sin2g』+ l的图象向右平移。个单位长度，得到函数//⑴的图象，则。=,
"(8)=.
14.曲线y=e"5x+2在点(0, 3)处的切线方程为・
15.若(--3^/7/的展开式中各项系数之和为32，则展开式中X的系数为
x
16.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有____种.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12 分)已知函数/(x) = lnx.
(1)设g(x)=半，求函数g(x)的单调区间，并证明函数g(x)有唯一零点.
X
(2)若函数h(X^e'-af(X-1)在区间(1,1 +峪)上不单调，证明：- + ^->0.
a 67 + 1
18.(12分)已知多面体ABCDE中，AE、CZ)均垂直于平面ABC, ZABC = 120，AE = 2CD,
AB = BC = CD, F是配的中点.
B
(1)求证：OF//平面ABC；
(2)求直线BQ与平面典所成角的正弦值.
19.(12 分)已知向量a = (cosx,-l),/? =^73sinx,-^ ，函数/'(x) = (a+ Z?)・a-2 .
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)在即C中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知函数/'(X)的图像经过点［瓦：］，b,a,c成
等差数列，且AB・AC = 9，求a的值.
20.(12 分)已知不等式|2%-1|-|% + 1|< 2 的解集为｛x|o<x<。｝.
(1)求实数0，人的值;
3a b 、 k
(2)已知x>y>z存在实数*使得-2("y)+ 4(y刁2 = 恒成立，求实数*的最大值.
x = 9 +
21.(12分)在直角坐标系中，直线Z的参数方程为’U为参数).以坐标原点为极点，
b=t
, 16
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为"= ----------------- .
l+ 3sin2^
(1)求C和/的直角坐标方程；
(2)已知尸为曲线C上的一个动点，求线段OP的中点肱到直线/的最大距离.
22.(10 分)已知函数/(x) = 2sin2 x + sin xcos x-1, x e R.
(1)求f(x)的单调递增区间；
A
(2)  A ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若/(—) = 1且A为锐角，a=3, sinC=2sinB，求小ABC 的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
【分析】
'2 ,
2x = 1
简单判断可知函数关于x = l对称，然后根据函数/(x) = x-—的单调性，并计算,X ，结合对称
X [x>0
性，可得结果.
【详解】
可知函数f(X)关于X = 1对称
当x 21时，f (x) = x—,
2
可知f(x) = x -一在[1, +8)单调递增
X-2 = 1
则< % =>尤=2
%>0
又函数f(x)关于x = l对称，所以/(0)= 1
且f(X)在(-8,1)单调递减，
所以x + 2<0或x + 2>2，故x<—2或x>0
所以{x|/(x + 2)>l)= {x|x<—2 或x>0}
故选：C
【点睛】
本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：/(l-x) = /(l+x),
/(l-x) + /(l+x) = O，考验分析能力，属中档题.
2、D
【解析】
【分析】
( TT \ JT
通过变形/(-r) = sinl 2.V-—l = sin 2(.v-—)，通过“左加右减唧可得到答案.
【详解】
根据题意/(-r) = sinf2.v-^j = sin 2(.v-^-)，故只需把函数y = sin2x的图象
上所有的点向右平移兰个单位长度可得到函数V^sinf 2x-f |的图象，故答案为D.
12 I 6；
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.
3、B
【解析】
【分析】
根据诱导公式化简sin [： + y] = cos v再分析即可.
【详解】
因为cos X = sin [ + y尸cos y斯以q成立可以推出p成立，但p成立得不到q成立，例如cosy = cos—,
TT Sjl
而耳/耳'所以p是q的必要而不充分条件.
故选：B
【点睛】
本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用，属于基础题.
4、A