什么是整数_整数的性质与应用
整数的概念
整数(integer)就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。
整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。在整数系中，零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、…、-n、…(n为非零自然数)为负整数。则正整数、零与负整数构成整数系。整数不包括小数、分数。
整数的分类
我们以0为界限，将整数分为三大类：
1° 正整数，即大于0的整数如，1，2，3······直到n。
2° 零，既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。
3° 负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3······直到-n。(n为正整数)
注：现中学数学教材(2005年)中规定：零和正整数统称自然数。
整数也可分为奇数和偶数两类。
正整数
它是从古代以来人类计数的工具。可以说，从“1头牛，2头牛”或是“5个人，6个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。
零
零不仅表示“没有”(“无”)，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。
负整数
中国最早引进了负数。《九章算术.方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a - b=c，如果a、b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
奇偶
整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。不能被2整除的数则叫做奇数。即当n是整数时，偶数可表示为2n(n为整数);奇数则可表示为2n+1(或2n-1)。
偶数包括正偶数(亦称双数)、负偶数和0。所有整数不是奇数，就是偶数。
在十进制里，我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数：个位为1,3,5,7,9的数为奇数;个位为0,2,4,6,8的数为偶数。
整数的性质及应用
如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义
设a,b,c是给定的数，b≠0，若存在整数c，使得a=bc,则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a。
整数整除性的一些数码特征(即常见结论)
1与0的特性
1是任何数的约数，即对于任何整数a，总有1|a。
0是任何非零数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0。
整除特征
1° 若一个数的末位是单偶数，则这个数能被2整除。
2° 若一个数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
3° 若一个数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
4° 若一个数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
5° 若一个数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
6° 若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3×2=7，所以133是7 的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。
7° 若一个数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
8° 若一个数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
9° 若一个数的末位是0，则这个数能被10整除。
10° 若一个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是：倍数不是2而是1!
自然数是什么11° 若一个数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
12° 若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，则重复「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
13° 若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，同样重复之前的过程，直到能清楚判断为止。
14° 若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，同样重复之前的计算思路，直到能清楚判断为止。
15° 若一个数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
16° 若一个数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
17° 若一个数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
奇偶性
1° 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数;即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数;
2° 奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或(8m+4)的形式;
3° 若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数;若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数;两个整数的和与差具有相同的奇偶性;一个整数的平方根若是整数，则两者具有相同的奇偶性。
完全平方数
完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：
(1)平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9;
(2)偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能
是0或1;
(3)奇数平方的十位数字是偶数;
(4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6;
(5)不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7;
(6)平方数的约数的个数为奇数;
(7)任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
(8)设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂(k≥2)，若(a,b)=1，则a,b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a,b,c……之积是一个正整数的k次方幂(k≥2)，若a,b,c……两两互素，则a,b,c……都是正整数的k次方幂。
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