知识要点：
在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：
1．运用配方法求最值；
2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；
3．建立函数模型求最值；
4．利用基本不等式或不等分析法求最值．
[例1]：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．
（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？
（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（3）t为何值时s最小，最小值时多少？
答案：
[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？
解：设花圃的宽为米，面积为平方米
则长为：(米)
则：
∵
∴
∵，∴与的二次函数的顶点不在自变量的范围内，
而当内，随的增大而减小，
∴当时，(平方米)
答：可设计成宽米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．
[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，
则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）
易知CN=4-x，EM=4-y．
过点B作BH⊥PN于点H
则有△AFB∽△BHP
∴，即，
∴，
，
此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，
∴当x≤5时，函数值随的增大而增大，
对于来说，当x=4时，．
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E
、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；
(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
解：(1) 四边形EFGH是正方形．
图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点
按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，
故CE=CF =CG．
∴△CEF是等腰直角三角形
因此四边形EFGH是正方形．
(2)设CE=x, 则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元
那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)×10]
当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．面积最大的省是哪个省
答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．
作业布置：
1．(2008浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度(单位：米)与小球运动时间(单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度 4.9米 ．
2．(2008庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x，y)都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为 元/平方米．
提示：利用对称性，答案：2080．
3．如图所示，在一个直角△MBN的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为( D )
A．m B．6 m C．15 m D．m
解：AB=x m，AD=，长方形的面积为y m2
∵AD∥BC ∴△MAD∽△MBN
∴，即，
, 当时，有最大值．
4．(2008湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．如图，铅球运动员掷铅球的高度(m)与水平距离(m)之间的函数关系式是：
，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D )
A．6 m B．12 m C．8 m D．10m
解：令，则：
（图5） （图6） （图7）
A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m
解：顶点为，设，将点代入，
令，得：，所以OB=3
7．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（ B ）
A．4.6m B．4.5m C．4m D．3.5m
8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．
(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
解：
∵
∴
∵二次函数的顶点不在自变量的范围内，
而当内，随的增大而减小，
∴当时，
(平方米)
答：当米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？
解：(1)∵长为x米，则宽为米，设面积为平方米．
∴当时，(平方米)
即：鸡场的长度为25米时，面积最大．
(2) 中间有道篱笆，则宽为米，设面积为平方米．
则：
∴当时，(平方米)
由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．
即：使面积最大的值与中间有多少道隔墙无关．
10．如图，矩形ABCD的边AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=x cm，CQ=y cm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式．
解：∵∠APQ=90°,
∴∠APB+∠QPC=90°.
∵∠APB+∠BAP=90°,
∴∠QPC=∠BAP，∠B=∠C=90°
.∴△ABP∽△PCQ.
∴．
11．(2006年南京市)如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？
解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD
∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x
∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5
∵，∴
当x=2.5时，S有最大值12.5
12．(2008四川内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米．
答案：如图所示建立直角坐标系
则：设 将点，代入，
，解得
顶点，最低点距地面0.5米．
13．(2008黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．
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