概率与统计
专题四：独立性检验
一、知识储备
1．列联表
设，为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下：
总计
总计
2．独立性检验
利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
3．独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列出列联表；
(2)计算随机变量的观测值k，查下表确定临界值k0：
(3)如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”．
【注意】(1)通常认为时，样本数据就没有充分的证据显示“X与Y有关系”．
(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
(3)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．
二、例题讲解
1．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））随着经济的发展，人们的生活水平显著提高，健康意识不断增强，健康管理理念深入人心，人们参加体育锻炼的次数与时间在逐渐增加.某校一个课外学习小组为研究居民参加体育锻炼的时长（时长不超过60分钟）是否与性别有关，对某小区居民进行调查，并随机抽取了100名居民的调查结果，其中男性有55人，根据调查结果绘制了居民日均锻炼时间的频率分布直方图如下：
(1)求样本中居民日均锻炼时间的中位数；
(2)将日均锻炼时间不低于40分钟的居民称为“健生达人”（健康生活达人），已知样本中“健生达人”中有10名女性，根据已知条件完成下面列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“健生达人”与性别有关.
支持数字人民币支付
非健生达人
健生达人
合计
男
女
10
合计
100
附：，.
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
2．（2022·江苏南京市·高三开学考试）科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：，，，，（单位：）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36及以上的为“大果”.
（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；
采用实验方案
未采用实验方案
合计
大果
非大果
合计
100
100
200
（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径服从正态分布，其中近似为样本平均数，，请估计对照园中果径落在区间内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
附：①；
②若服从正态分布，则，，.
三、实战练习
1．（2022·定远县育才学校高三开学考试（文））是腾讯公司推出的一种手机通信软件，它支持发送语音短信､视频､图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在的朋友圈内销售商品的人.为了调查用户每天使用的时间，某经销化妆品的店家在一广场随机采访男性､女性用户各50名，将男性､女性平均每天使用的时间（单位：h）分成5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图估计女性平均每天使用的时间；
（2）若每天玩超过的用户称为“控”，否则称为“非控”，判断是否有90%的把握认为“控”与性别有关.
附表：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中）
2．（2022·河北唐山·高三开学考试）数字人民币是由央行发行的法定，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2022年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费､餐饮服务､交通出行､购物消费､政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了-次问卷调查，部分结果如下：
学历
小学及以下
初中
高中
大学专科
大学本科
硕士研究生及以上
不了解数字人民币
35
35
80
55
64
6
了解数字人民币
40
60
150
110
140
25
（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表；