高考数学总复习考点知识与题型专题讲解
1.了解两个事件相互独立的含义.
2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．
知识梳理
1．相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．2．条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝P(AB)
P(A)
为在事
件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝n(AB) n(A)
；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．
3．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，
i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑i ＝1n
P (A i )P (B |A i )． 常用结论
1．如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．
2．贝叶斯公式：设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，P (B )>0，有P (A i |B )＝
P (A i )P (B |A i )P (B )＝P (A i )P (B |A i )
∑k ＝1n P (A k )P (B |A k )
，i ＝1,2，…，n . 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( × )
(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( √ )
(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A ，“第2枚正面朝上”为事件B ，则A ，B 相互独立．( √ )
(4)若事件A 1与A 2是对立事件，则对任意的事件B ⊆Ω，都有P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)．
( √ ) 教材改编题
1．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为12，23，则谜题没被破
解出的概率为( )
A.1
6 B.
1
3 C.
5
6D．1
答案 A
解析设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，
则P(A)＝1
2，P(B)＝
2
3，
故P(A)＝1
2，P(B)＝
1
3，
所以P(A B)＝1
2×
1
3＝
1
6，
即谜题没被破解出的概率为1 6.
2．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是()
A.1
28 B.
1
10 C.
1
9 D.
2
7
答案 D
解析当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概
率为2 7.
3．智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A食堂用餐的概率为________．
答案0.55
解析由题意得，居民甲第二天去A食堂用餐的概率P＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.
题型一相互独立事件的概率
例1(1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
n号房时间C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
答案 B
解析事件甲发生的概率P(甲)＝1
6，事件乙发生的概率P(乙)＝
1
6，事件丙发生的概率
P(丙)＝
5
6×6
＝
5
36，事件丁发生的概率P(丁)＝
6
6×6
＝
1
6.事件甲与事件丙同时发生的概率
为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为
1
6×6
＝
1
36，
P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为
1
6×6
＝
1
36，P(乙
丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．
(2)(2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在
某局双方10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为________；若乙先发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为________.
答案0.50.1
解析记两人又打了X个球后结束比赛，
设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件A k(k＝1,2,3…)，则P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A
A2)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)
1
＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
由乙先发球，得P(X＝4且甲获胜)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)
＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＋P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4)＝0.4×0.5×0.4×0.5＋0.6×0.5×0.4×0.5
＝0.1.
思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
跟踪训练1小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；
(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；
(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率．
解用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.
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