第一节  基本概念
1、排列组合初步
（1）排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
例1．1：方程 的解是
A．  4    B． 3    C． 2    D． 1
例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？
例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？
例1．5：用五种不同的颜涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜，且相邻区域的颜必须不同，则共有不同的涂法   
A．120种                B．140种          C．160种                    D．180种
(4)一些常见排列
①      特殊排列
相邻
彼此隔开
顺序一定和不可分辨
例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？
①3个舞蹈节目排在一起；
②3个舞蹈节目彼此隔开；
③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？
例1．8：5辆车排成1排，1辆黄，1辆蓝，3辆红，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？
②      重复排列和非重复排列（有序）
例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？
③      对立事件
例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？
例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？
例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
④      顺序问题
例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）
例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）
例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）
2、随机试验、随机事件及其运算
（1）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随
机试验。试验的可能结果称为随机事件。
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中出这样一组事件，它具有如下性质：
（1）  每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
（2）  任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示，例如 （离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。
如果某个 是事件A的组成部分，即这个 在事件A中出现，记为 。如果在一次试验中所出现的 有 ，则称在这次试验中事件A发生。
如果 不是事件A的组成部分，就记为 。在一次试验中，所出现的 有 ，则称此次试验A没有发生。
为必然事件，?为不可能事件。
（2）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C  A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)  (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：      ，
例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白的，两只是红的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间 。若 表示取到的两只球是白的事件， 表示取到的两只球是红的事件，试用 、 表示下列事件：
（1）两只球是颜相同的事件 ，
（2）两只球是颜不同的事件 ，
（3）两只球中至少有一只白球的事件 。 
例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件：
（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件 ，
（2）至少有一次正面朝上的事件 ，
（3）前两次正面朝上的
事件 。
3、概率的定义和性质
（1）概率的公理化定义
设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）
1°  ，
2°  。
设任一事件 ，它是由 组成的，则有
P(A)=  =
例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。
例1．19：5双不同颜的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？
例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是
A．                            B．                            C．                    D． 
例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序）
例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序）
例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序）
注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。
4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）
（1）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：
A＝“三个数字中不含0或者不含5”。
（2）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P( + ).
例1．26：对于任意两个互不相容的事件A与B， 以下等式中只有一个不正确，它是：
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P( ∪ )-1
(C) P( -B)= P( )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A)
(E)p[ ]=P(A) -P( ∪ )
（3）条件概率和乘法公式
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为  。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
…
  …… … 。
例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。
例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？
①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。
（4）全概公式
设事件 满足
1° 两两互不相容， ，
2° ，
则有
。
此公式即为全概率公式。
例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％
，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。
例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：
A．0.5625              B．0.5          C．0.45        D．0.375        E． 0.225
例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？
（5）贝叶斯公式
设事件 ， ，…， 及 满足
1°  ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，
2°  ， ，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。如果我们把 当作观察的“结果”，而 ， ，…， 理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
例1．32：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设 表示被检验者的确患有肝癌的事件， 表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知 ， ， 。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确患有肝癌的概率 。
5、事件的独立性和伯努利试验
（1）两个事件的独立性
设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。
若事件 、 相互独立，且 ，则有
所以这与我们所理解的独立性是一致的。
若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。（证明）
由定义，我们可知必然事件 和不可能事件?与任何事件都相互独立。（证明）
同时，?与任何事件都互斥。
（2）多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
两两互斥→互相互斥。
两两独立→互相独立？
例1．33：已知 ，证明事件 、 相互独立。
例1．34：A，B，C相互独立的充分条件：
（1）A，B，C两两独立
（2）A与BC独立
例1．35：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标没有被射中的概率。
（3）伯努利试验
定义 我们作了 次试验，且满足
?      每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生；
?        次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；
?      每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。
这种试验称为
伯努利概型，或称为 重伯努利试验。
用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率，
， 。
例1．36：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b次球，每次放回，试求其中含a
个白球，b个黑球的概率（a≤α，b≤β）。
例1．37：做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p，求在第n次成功之前恰失败m次的概率。
第二节  练习题
1、事件的运算和概率的性质
例1．38：化简 (A+B)(A+ )( +B)
例1．39：ABC=AB(C∪B)  成立的充分条件为：
(1)AB C  (2)B C
例1．40：已知P(A)=x，P(B)=2x，P(C)=3x，P(AB)=P(BC)，求x的最大值。
例1．41：当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是
（A）  P（C）=P（AB）。                                       
（B）  P（C）=P（A B）。
（C）  P（C）≥P（A）+P（B）-1
（D）  P（C）≤P（A）+P（B）-1。                                                                      [      ]
2、古典概型
例1．42：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？
例1．43：电话号码由四个数字组成，每个数字可以是0,1,2,…,9中的任一个数，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。
例1．44：袋中有6只红球、4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不大于6分的概率是
A．                            B．                            C．                    D． 
例1．45：10个盒子，每个装着标号为“1－6”的卡片。每个盒子任取一张，问10张中最大数是4的概率？
例1．46：将n个人等可能地分到N（n≤N）间房间中去，试求下列事件的概率。
A＝“某指定的n间房中各有1人”；
B＝“恰有n间房中各有1人”
C＝“某指定的房中恰有m（m≤n）人”
例1．47：有5个白珠子和4个黑珠子，从中任取3个，问全是白的概率？
3、条件概率和乘法公式
例1．48：假设事件A和B满足P（B | A）=1，则
（A） A是必然事件。                                    （B） 。
（C） 。                                                      （D） 。                [      ]
例1．49：设A，B为两个互斥事件，且P（A）>0, P(B)>0，则结论正确的是
（A）  P（B | A）>0。
（B）  P（A | B）=P（A）。
（C）  P（A | B）=0。
（D）  P（AB）=P（A）P（B）。                                                                          [      ]
例1．50：某种动物由出生而活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率。
例1．51：某人忘记三位号码锁（每位均有0～9十个数码）的最后一个数码
，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第4次试开时才将锁打开的概率是
A．                            B．                            C．                    D． 
例1．52：在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这几个回合中：①甲机被击落的概率；②乙机被击落的概率。
例1．53：为防止意外事故，在矿井内同时安装两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效率A为0.92，B为0.93，在A失灵条件下B有效概率为0.85。求：（1）这两种警报系统至少有一个有效的概率；（2）在B失灵条件下，A有效的概率。
4、全概和贝叶斯公式
例1．54：甲文具盒内有2支蓝笔和3支黑笔，乙文具盒内也有2支蓝笔和3支黑笔．现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取2支笔．求最后取出的2支笔都是黑笔的概率。
例1．55：三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，每二箱装有3个黑球3个白球，第三箱装有3个黑球5个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问：（1）取出的球是白球的概率？（2）若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率？
例1．56：袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是                  。
5、独立性和伯努利概型
例1．57：设P(A)>0,P(B)>0，证明
（1）  若A与B相互独立，则A与B不互斥；
（2）  若A与B互斥，则A与B不独立。
例1．58：设两个随机事件A，B相互独立，已知仅有A发生的概率为 ，仅有B发生的概率为 ，则P（A）=                      ，P（B）=                      。
例1．59：若两事件A和B相互独立，且满足P(AB)=P(  ), P(A)=0.4，求P(B).
例1．60：设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=Ф，P（A）=P（B）=P（C）< ，且已知 ，则P（A）=                      。
例1．61：A发生的概率是0.6，B发生的概率是0.5，问A,B同时发生的概率的范围？
n号房时间
例1．62：设某类型的高炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这样的高炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上。
例1．63：由射手对飞机进行4次独立射击，每次射击命中的概率为0.3，一次命中时飞机被击落的概率为 0.6，至少两次命中时飞机必然被击落，求飞机被击落的概率。
例1．64：将一骰子掷m+n次，已知至少有一次出6点，求首次出6点在第n次抛掷时出现的概率。
例1．65：两只一模一样的铁罐里都装有大