（一）基础知识梳理：
1.事件的概念：
（2）必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。
（3）不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件
（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件。
（5）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
n号房时间2.随机事件的概率：
（1）频数与频率：在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试
验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例n
n A f A n =)(为事件A 出现的频率。
（2）概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A 发生的频率具有稳定性。我们把这个常数叫做随机事件A 的概率，记作)(A P 。
3.概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为
0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
4.事件的和的意义: 事件A 、B 的和记作A+B ，表示事件A 和事件B 至少有一个发生。
5.互斥事件: 在随机试验中，把一次试验下不能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 当A 、B 为互斥事件时，事件A+B 是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的， 因此当A 和B 互斥时，事件A+B 的概率满足加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)（A 、B 互斥）. 一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,
,n A A A 彼
此互斥如果事件12,,
,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝
12()()()n P A P A P A +++。 6．对立事件: 事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件. A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生 这时P(A+B)=P(A)+P(B)＝1 即P (A +A )=P (A )+P (A )=1
当计算事件A 的概率P （A ）比较困难时，有时计算它的对立事件A 的概率则要容易些，为此有P （A ）=1－P （A ）
7. 事件与集合：从集合角度来看，A 、B 两个事件互斥，则表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集. 事件A 的对立事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成集合的补集，即A ∪A =U ，A ∩A =∅对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件
（二）典型例题分析：
例1．将一枚均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( )
A ．必然事件
B ．随机事件
C ．不可能事件
D ．无法确定
例2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A ．至少有1个白球，都是白球
B ．至少有1个白球，至少有1个红球
C ．恰有1个白球，恰有2个白球
D ．至少有1个白球，都是红球
例3．甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高5％，和棋的概率为59％，则乙胜的概率为_____________．
例4．如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，那么抽到红心（事件A）的概率为________，取到方片（事件B）的概率是 _______．取到红牌（事件C）的概率是_______，取到黑牌（事件D）的概率是________.
（三）基础训练：
1．下列说法正确的是 ( )
A．任一事件的概率总在(0，1)内 B．不可能事件概率不一定为0
C．必然事件的概率一定是1 D．以上均不对
2．某地气象局预报说：明天本地降雨概率为80%，则下面解释正确的是（）
A.明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨
B.明天本地下雨的机会是80%
C.明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨
D.以上说法均不正确
3．下面事件: ①若a、b∈R，则a·b=b·a；②某人买中奖；③6+3>10；
④抛一枚硬币出现正面向上. 其中必然事件有 ( )
A．① B．②C．③④D．①②
4．盒中有9个小球，分别标有1，2，3，…，9，从中任取一球，则此球的号码为偶数的概率是_______．
5．箱子中有2000个灯泡，随机选择100个灯泡进行测试，发现10个是坏的，预计整箱中有________个
坏灯泡。
6．对某电冰箱厂生产的电冰箱进行抽样检测数据如下表所示：
抽取台数50100200300500 1000
优等品数4692192285479 950
则估计该厂生产的电冰箱优等品的概率为
7.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
(A)对立事件 (B)不可能事件
(C)互斥但不对立事件(D)以上答案都不对
8.从1,2,…,9中任取2个数，其中
①恰有1个是偶数和恰有1个是奇数;②至少有1个是奇数和2个都是奇数;③至少有1个是奇数和2个都是偶数;④至少有1个是奇数和至少有1个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是( )
(A)①(B)②④(C)③(D)①③
9.一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同球的概率是( )
(A)(B)(C)(D)
10.掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为( )
(A)(B)(C)(D)
（四）巩固练习：
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机的分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
2．下列四个命题中错误命题的个数是（）
（1）对立事件一定是互斥事件（2）若A，B是互斥事件，则P（A）+P（B）<1
（3）若事件A ，B ，C 两两互斥，则P （A ）+P （B ）+P （C ）=1
（4）事件A ，B 满足P （A ）+P （B ）=1，则A ，B 是对立事件
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示“所得点数是1、2”，事件B 表示“所得点数大于4”，则P （A+B ）=____________.
4.某射手射击1次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是，，，，则这名射手射击1次，射中10环或9环的概率为________，至多射中6环的概率__________.
5．在10件产品中有8件1级品，2件2级品，从中任取3件，记“3件都是1级品”为事件A ，则A 的对立事件是_____________________________________ .
6．袋中有12个小球，分别为红球，黑球、黄球、绿球，从中任取1球，得到红球的概率是31，得到黑球或黄球的概率是12
5，则得到绿球的概率是__________. 第02讲 古典概型
（一）基础知识梳理：
1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果，称为一个基本事件 基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的； （2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
2．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，这种事件叫等可能性事件
3．古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
4．古典概型的概率计算公式： 对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n ，随机事
件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率定义为()m P A n
=。 （二）典型例题分析：
例1.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A ，B ，C ，D 四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是_________.
例2.在6瓶饮料中，有2瓶已过了保质期。从中任取2瓶，取到已过保质期的饮料的概率是_______.
例3. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，观察落地后的情形
（1）写出这个试验的所有的基本事件；
（2）“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”这一事件包含了哪几个基本事件？
（3）求事件“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”的概率。
例4.每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）
（I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；
（II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（三）基础训练：
1．下列试验中，是古典概型的是（ ）
A ．种下一粒种子观察它是否发芽
B ．从规格直径为（±
）
mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C ．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D ．某人射击中靶或不中靶
2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ）
A ．21
B ．31
C ．3
2 D ．1 3.某学生通过计算初级水平测试的概率为2
1，他连续测试两次，则恰有1次获得通过的概率为____.
4．甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）。则平局的概率为 ________，甲赢的概率为_________。
5. 一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5个小球，随即的选取两个小球，根据下列条件求两个小球上的数字之和为偶数的概率。
（1）小球的选取是无放回的； （2）小球的选取是有放回的。
6.现有一批产品共有6件, 其中5件为正品, 1件为次品.
(1) 如果从中取出1件, 然后放回, 再取1件, 求连续2次取出的都是正品的概率;
(2) 如果从中一次取2件, 求2件都是正品的概率.
7．袋中有大小相同的红、黄两种颜的球各1个，从中任取1个，有放回地抽取3次。求：
（1）3次全是红球的概率 （2）3次颜全相同的概率 （3）3次颜不全相同的概率
（四）巩固练习：
1．袋中有5个球，其中3个红球，2个白球，现每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率是（ ）
A ．53
B ．43
C ．21
D ．10
3 2．在一次数学测验中，某同学有两个单选题（即四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，则这两道单选题都答对的概率为（ ）
A ．21
B ．41
C ．81
D ．16
1 3．甲, 乙两人随意入住2间空房, 则甲乙两人各住1间房的概率是（ ）
A ．31
B ．41
C ．2
1 D ．无法确定 4. 4本不同的语文书, 3本不同的数学书, 从中任意取出2本，能取出数学书的概率是________.
5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P （m ，n ）落在圆1622=+y x 内的概率是_______________.
6．高一（1）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则恰有一名参赛学生是男生的概率是________；至少有一名参赛学生是男生的概率是________。
7．有A ，B 两个口袋，A 袋中有6张卡片，其中1张写有0；2张写有1；3张写有2；B 袋中有5张卡片，其中2张写有0；1张写有1；2张写有2.。从A ，B 两个袋中各取1张卡片，求：
（1）取出的2张卡片都写有0的概率； （2）取出的2张卡片数字之和为2的概率。
第03讲 随机数与几何概型
（一）基础知识梳理：
1. 几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。
2. 几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
3. 几何概型事件的概率计算公式：
积）
的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P )( （二）典型例题分析：
例1. 如图，在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm ，4cm ，6cm ，某人在在3m 外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：
（1）投中小圆内的概率是多少？
（2）投中大圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
（3）投中大圆之外的概率是多少？
例2.在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的大桌面上投硬币，若硬币刚巧落在任何一个方格的范围内不与方格线重叠），便可获奖。如果硬币的直径为2cm ，
而方格的边长为5cm ，随机投掷一个硬币，获奖的概率有多大？
（三）基础训练：
1．在500mL 的水中有一个草履虫, 现从中随机取出2mL 水样放到显微镜下观察, 则发现草履虫的概率是（ ）
A ．
B ．0.4
C ．
D ．不能确定
2．有一半径为4的圆, 现将一枚直径为2的硬币投向其中(硬币与圆面有公共点就算是有效试验，硬币完
全落在圆外的不计)，则硬币完全落入圆内的概率为（ ）
A ．94
B ．169
C ．254
D ．259
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