利用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法求函数最值问题
季佳佳
(浙江省台州市仙居城峰中学㊀３１７３００)
摘㊀要：近几年ꎬ在高考㊁高校自主招生以及各类数学竞赛中ꎬ多元函数的值域ꎬ不等式的最值问题ꎬ及其衍生问题在试题中频频出现ꎬ因其技巧性强㊁难度大㊁方法多㊁灵活多变而具有挑战性ꎬ考生面对该类问题解题思路狭窄ꎬ往往不知所措.教师在教学过程中试图寻通法ꎬ而Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法是解决该类问题非常有效的方法ꎬ尽管涉及偏导数ꎬ但是对大多数高三学生不难理解.一般中学阶段求多元函数最值问题ꎬ最多涉及两个约束条件.本文通过Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法的应用ꎬ对多元函数最值问题给出统一的ꎬ具有普适性的解答.
关键词：偏导数ꎻ乘数法ꎻ函数
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００５４－０２
㊀㊀已知约束条件
Ｆｘꎬｙꎬｚ()＝０ꎬＧｘꎬｙꎬｚ()＝０
{
下ꎬ求ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)的极值
时ꎬ我们可以构造Ｌａｇｒａｎｇｅ函数ꎬＬｘꎬｙꎬｚ()＝ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)－λＦ
ｘꎬｙꎬｚ()－
μＧ
ｘꎬｙꎬｚ().
由
Ｌｘᶄ＝０ꎬＬｙᶄ＝０ꎬＬｚᶄ＝０ꎬ
ìîíïï
ï
结合Ｆｘꎬｙꎬｚ()＝０ꎬＧｘꎬｙꎬｚ()＝０ꎬ
{
解出(ｘꎬｙ)可能的极值点ꎬ其中ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)
称为目标函数ꎬλꎬμ为Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数ꎬＬｘᶄꎬＬｙᶄꎬＬｚᶄ为Ｌａｇｒａｎｇｅ函数关于ｘꎬｙꎬｚ的偏导数(分别以ｘꎬｙꎬｚ为主元求得的导数ꎬ其它非主元视为常数).
特别的ꎬ若在单约束条件Ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)＝０下ꎬ求ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)的极值时ꎬ只要构造Ｌａｇｒａｎｇｅ函数Ｌｘꎬｙꎬｚ()＝ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)－λＦｘꎬｙꎬｚ()即可.
㊀㊀
一㊁单约束条件下的最值问题
例１㊀(２０１１年浙江)㊀设ｘꎬｙ为实数ꎬ若４ｘ２
＋ｙ２
＋
ｘｙ＝１ꎬ则２ｘ＋ｙ的最大值
.
解㊀方法一
因为１＝４ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ＝(２ｘ＋ｙ)２－
３
２
(２ｘ) ｙȡ(２ｘ＋ｙ)２
－３２(２ｘ＋ｙ２
)
２得到１ȡ
５８(２ｘ＋ｙ)２ꎬ所以－２１０５ɤ２ｘ＋ｙɤ２１０５
.
看到这类题ꎬ学生的第一反应是用基本不等式的知识去解决ꎬ这种思路是对的ꎬ但是用不等式的方法是有局限性的ꎬ如果碰到更复杂的问题ꎬ高中的知识就很难 胜任 ꎬ这时ꎬ我们就可以看到Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法的巨大威力.
方法二㊀因为４ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ＝１ꎬ得４ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ－１＝
０.构造Ｌａｇｒａｎｇｅ函数Ｌ(ｘꎬｙ)＝２ｘ＋ｙ－λ(４ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ－１).由
Ｌｘᶄ＝２－λ(８ｘ＋ｙ)＝０ꎬＬｙᶄ＝１－λ(２ｙ＋ｘ)＝０ꎬ
{
得ｙ＝２ｘ.
由
ｙ＝２ｘꎬ
４ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ＝１ꎬ
{
解得
ｘ＝－１０１０ꎬ
ｙ＝－
１０
５
ꎬìîíïï
ïï或
ｘ＝１０１０ꎬ
ｙ＝
１０５
.ìîíïïïï所以２ｘ＋ｙ最大值为２１０５ꎬ最小值为－２１０
５.例２㊀要设计一个容量为Ｖ的长方形无盖水箱ꎬ试问水箱的长ꎬ宽ꎬ高各等于多少时ꎬ其表面积最小?
解㊀设水箱的长ꎬ宽ꎬ高分别为ｘꎬｙꎬｚꎬ则体积Ｖ＝ｘｙｚꎬ
表面积Ｓ＝２ｘｚ＋２ｙｚ＋ｘｙ.
构造Ｌａｇｒａｎｇｅ函数Ｌ(ｘꎬｙꎬｚ)＝２ｘｚ＋２ｙｚ＋ｘｙ－λ(ｘｙｚ－Ｖ).由Ｌｘᶄ＝２ｚ＋ｙ－λｙｚ＝０ꎬＬｙᶄ＝２ｚ＋ｘ－λｘｚ＝０ꎬ
Ｌｚᶄ＝２ｘ＋２ｙ－λｘｙ＝０ꎬＶ＝ｘｙｚꎬ
ìîí
ï
ïïï
得ｘ＝３２Ｖꎬ
ｙ＝３２Ｖꎬ
ｚ＝１２３２Ｖ.
ì变形计刘珊
î
í
ï
ï
ï
ï
所以表面积最小值Ｓ＝３３４Ｖ２.
㊀㊀二㊁双约束条件下的最值问题
例３㊀(２０１４年浙江)已知实数ａꎬｂꎬｃ满足ａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１ꎬ则ａ的最大值.
解㊀由ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１ꎬ得ａ２＋ｂ２＋ｃ２－１＝０.
构造Ｌａｇｒａｎｇｅ函数Ｌ(ａꎬｂꎬｃ)＝ａ－λ(ａ＋ｂ＋ｃ)－μ(ａ２＋ｂ２＋ｃ２－１).
由
Ｌ
ａ
ᶄ＝１－λ－２μａ＝０ꎬ
Ｌ
ｂ
ᶄ＝－λ－２μｂ＝０ꎬ
Ｌᶄ
ｃ＝－λ－２μｃ＝０ꎬ
ａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬ
ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１.
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
得
ａ＝６３ꎬ
ｂ＝ｃ＝－６６ꎬ
λ＝１３ꎬ
μ＝６６ꎬ
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ïï
或
ａ＝－６３ꎬ
ｂ＝ｃ＝６６ꎬ
λ＝１３ꎬ
μ＝－６６.
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ïï
所以ａ的最大值６３ꎬ最小值－６３.
以上例子说明了Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法的巨大作用ꎬ它能
有效回避不等式中复杂的思维过程和代数变形ꎬ对提高
学生解题能力ꎬ树立学生学习数学的信心ꎬ拓宽学生思
路ꎬ提高学生分析问题㊁解决问题的能力有很大帮助.
㊀㊀参考文献:
[１]华东师大数学系.数学分析(下册)[Ｍ].北京：高
等数学出版社ꎬ１９９６.
[２]沈晨ꎬ宋冬梅ꎬ刘珊.关于用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法求函
数最值的充分条件[Ｊ].河南科学ꎬ２０１２ꎬ３０(１):２４－２６.
[责任编辑：李㊀璟]化归思想在高中数学解题过程中的应用
张娟娟
(福建省惠安第三中学㊀３６２１００)
摘㊀要：高中数学知识难度大ꎬ且知识体系化程度较高ꎬ对学生有着较高层面的要求.数学解题时应用化
归思想ꎬ有助于活跃学生思维ꎬ将各数学知识点联系起来ꎬ依据题目情况合适选用知识点.通过分析化归思想优势ꎬ探讨数学解题过程中应用化归思想的措施.
关键词：数学解题ꎻ化归思想ꎻ具体应用
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００５５－０２
㊀㊀一㊁高中数学解题时应用化归思想的必要性通过解决数学问题方式学习化归思想ꎬ也能让学生明白化归思想在数学解题中的作用.化归思想学习要依托学生知识掌握程度ꎬ整体角度把握数学知识ꎬ熟练掌握数学化归思想ꎬ这些都表明数学滑轨思想本质上就是利用现有知识解决数学问题ꎬ搭建合适的学习体系ꎬ简化解题过程并提升效率.
高中数学课程学习实质上就是学习思想方法ꎬ整个数学学习过程充满化归思想的身影ꎬ从简单的四则运算到几何学习ꎬ一步步引导学生掌握化归思想
ꎬ明白解题时不是非要选择与题目相关知识解答ꎬ只要是学习过的或