导数的计算
2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。
4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．
【要点梳理】
知识点一：基本初等函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
指数函数求导（5），
（6），
（7），
（8）， 。
要点诠释：
1．常数函数的导数为0，即C＇=0（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．
2．有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n－1）次幂的乘积，即（n∈Q）．
特别地，。
3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x）＇=cos x．
4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x）＇=－sin x．
5．指数函数的导数：，．
6．对数函数的导数：，．
有时也把 记作：
以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．
知识点二：函数的和、差、积、商的导数
运算法则：
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
要点诠释：
1. 上述法则也可以简记为：
（ⅰ）和（或差）的导数：，
推广：．
（ⅱ）积的导数：，
特别地：（c为常数）．
（ⅲ）商的导数：，
两函数商的求导法则的特例
，
当时，．
这是一个函数倒数的求导法则．
2．两函数积与商求导公式的说明
（1）类比：，（v≠0），注意差异，加以区分．
（2）注意：且（v≠0）．
3．求导运算的技巧
在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．
知识点三：复合函数的求导法则
1．复合函数的概念
对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数．
要点诠释： 常把称为“内层”， 称为“外层” 。
2．复合函数的导数
设函数在点x处可导，，函数在点x的对应点u处也可导，则复合函数在点x处可导，并且，或写作．
3．掌握复合函数的求导方法
（1）分层：将复合函数分出内层、外层。
（2）各层求导：对内层，外层分别求导。得到
（3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到
的导数。
要点诠释： 1. 整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。
【典型例题】
类型一：求简单初等函数的导数
例1. 求下列函数的导数：
(1) (2) (3)（4）（5）
【解析】
(1) (x3)′=3x3－1=3x2；
(2) ()′=(x－2)′=－2x－2－1=－2x－3
(3)
（4）；
（5）；
【点评】（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度。
（2）准确记忆公式。
（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。
举一反三：
【变式】求下列函数的导数：
(1)y = (2)y = （3）y=2x3―3x2+5x＋4 （4）；
【答案】
(1) y′=()′=(x－3)′=－3x－3－1=－3x－4
(2
（3）
（4）∵，∴.
类型二：求函数的和、差、积、商的导数
例2. 求下列函数导数：
(1) y＝3x2＋xcosx； (2)y＝； (3)y＝lgx－ex；（4）y=tanx.
【解析】
(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝.(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝－ex.
发布评论