幂函数求导
幂函数是一种基本初等函数，它的一般形式是y=x^a, 其中指数a是有理数，底数x是自变量，幂做为函数。不过我们在探究幂函数的导数时候，是从指数为正整数开始的。
这就要运用到导数的定义公式：f'(x)=lim(h->0)((f(x+h)-f(x))/h)，这里f(x)=x^n，代入定义公式后，就得到f'(x)=lim(h->0)(((x+h)^n-x^n)/h)，接下来对(x+h)^n运用牛顿二项式展开式，得到(x+h)^n=x^n+C(n,1)h·x^(n-1)+C(n,2)h^2·x^(n-2)+…h^n，从而得到f'(x)=lim(h->0)(((C(n,1)h·x^(n-1)+C(n,2)h^2·x^(n-2)+…h^n)/h)=f'(x)=lim(h->0)((C(n,1)x^(n-1)+C(n,2)h·x^(n-2)+…h^(n-1))=nx^(n-1).指数函数求导
这就是幂函数求导的第一个公式：(x^n)'=nx^(n-1)，n为正整数. 而当n=0时，x^n=1，易证1的导数等于0，因为f'(x)=lim(h->0)((f(x+h)-f(x))/h)=lim(h->0)0=0. 同理我们还可以证明知道任意常量函数的导数都等于0.
再结合积的求导公式：(uv)'=u'v+uv'，我们就可以求单项式mx^n的导数(mx^n)'=mnx^(n-1)，其中m为系数。并且由和的求导公式：(u+v)'=u'+v'就可以求一切多项式的导数。
接下来由函数倒数的求导公式：(1/f)'=-f'/f^2, 我们又可以把幂函数求导的指数推广到负整数的范围，即x^(-n)'=-(x^n)'/x^(2n)=-nx^(-n-1).
然后利用复合函数的求导公式f(g(x))'=f'(g(x))·g'(x)，我们就可以把幂函数求导的指数推广到实数的范围内。即求x^a的导数，a为任意实数。这时可以借助指数函数和对数函数的互逆性，构造复合函数e^(lnx^a)=e^(alnx)，其导数(x^a)'=(e^(alnx))'=x^a·a/x=ax^(x-1). 这就得到了幂函数的一般求导公式了。
继续拓广，还可以得到任意根式的求导公式，因为根式其内涵仍是幂函数为外函数的复合函数。