2023年新高考地区数学选填压轴题汇编(三)
一、单选题
a 2-y 2
b
2=1a >0,b >0 与抛物线C 2：y 2=
2px p >0 有公共焦点F ，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线C 2相交于点
B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线
C 1的离心率为e ，则e 2=( )A.
3+1
2
B.
5+12
C.
5+13
D.
5+23
【答案】B 【解析】根据题意，作图如下：
因为双曲线C 1和抛物线C 2共焦点，故可得a 2
+b 2
=p 24
，
又F c ,0 到y =b a x 的距离d =bc
a 2+
b 2
=b ，即AF =b ，又A 为
BF 中点，则BF =2b ，
设点B x ,y ，则2b =x +p 2，解得x =2b -p 2；由a 2+b 2
=p 24
可得
OA =a ，
则由等面积可知：12×BF ×OA =12×OF ×y ，解得y =4ab
p
，
则B 2b -p 2,4ab
p ，
则x A =b ,y A =2ab p ，又点A 在渐近线y =b a x 上，即b 2a =2ab
p
，即2a 2=pb ，
又p 2=4a 2+4b 2，联立得a 4-a 2b 2-b 4
=0，即b 2a 2-a 2b 2+1=0，解得b 2a
2=5-12，
故e 2
=1+b 2a
2=5+12.
故选：B .
2.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对任意的x 1，x 2∈
0，
+∞) ，且x 1≠x 2，都有x 1f x 1 -x 2f x 2
x 1-x 2
<0成立，则不等式mf m -2m -1 f 2m -1 >0的解集为( )A.13，
1 B.(-∞，1)
C.1,∞
D.-∞,
1
3
∪1,+∞ 【答案】D
【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数
∴g x =xf x 为定义在R 上的偶函数
又∵x 1f x 1 -x 2f x 2 x 1-x 2
<0
∴g x =xf x 在0，+∞) 上递减，则g x 在-∞,0 上递增mf m -2m -1 f 2m -1 >0即mf m >2m -1 f 2m -1
则m <2m -1 解得：m ∈-∞,1
3
∪1,+∞ ．
故选：D ．
3.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sin x =x -x 33!+x 55!-x 7
7!
+
⋯+-1 n -1
x 2n -12n -1 !+⋯，(其中x ∈R ，n ∈N *，n !=1×2×3×⋯×n ⋅0!=1)，现用上述公式求1-12!+14!-16!+⋯+-1 n -112n -2 !+⋯的值，下列选项中与该值最接近的是( )A.sin30∘ B.sin33∘ C.sin36∘ D.sin39∘
【答案】B
【解析】(sin x )
=cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯+-1 n -1x 2n -22n -2 !
+⋯
所以cos1=1-12!+14!-16!+⋯+(-1)n -11
(2n -2)!
+⋯
=sin π2-1
=sin 90∘-180∘
π ，由于
90∘-180∘π 与33∘
最接近，故选：B 4.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白车和2辆不同的黑车，要求相同颜的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )
A.288
B.336
C.576
D.1680
【答案】B
【解析】解：第一步：排白车，第一行选一个位置，则第二行有三个位置可选，由于车是不相同的，故白车的停法有4×3×2=24种,
第二步，排黑车，若白车选AF ，则黑车有BE ,BG ,BH ,CE ,CH ,DE ,DG 共7种选择，黑车是不相同的，故黑车的停法有2×7=14种，
根据分步计数原理，共有24×14=336种，故选：B
5.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=xe x -2a (ln x +x )有两个零点，则a 的最小整数值为( )A.0 B.1
C.2
D.3
【答案】C
【解析】f (x )=xe x -2a (ln x +x )=e x +ln x -2a (ln x +x )，
设t =x +ln x (x >0)，t =1+1
x
>0，即函数在0,+∞ 上单调递增，易得t ∈R ，于是问题等价于函数
g t =e t -2at 在R 上有两个零点，g t =e t -2a ，若a ≤0，则g t >0，函数g t 在R 上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；
若a >0，则x ∈-∞,ln2a 时，g t <0，g t 单调递减，x ∈ln2a ,+∞ 时，g t >0，g t 单调递增.
因为函数g t 在R 上有两个零点，所以g t min =g ln2a =2a 1-ln2a <0⇒a >e
2
，
而g 0 =1>0，
限定t >1 ，记φt =e t -t ，φ t =e t -1>0，即φt 在1,+∞ 上单调递增，于是φt =e t -t >φ1 =
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e -1>0⇒e t
>t ，则t >2时 ，e t
2
>t 2⇒e t
>t 24，此时g t >t 24-2at =t 4t -8a ，因为a >e 2
，所以8a
>4e >1，于是t >8a 时，g t >0.
综上：当a >e
2
时，有两个交点，a 的最小整数值为2.
故选：C .
6.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，在0,π
3
单调递减，且在该区间上没有零点，则ω的取值范围为( )A.32,2 B.1,32
C.32,52
D.0,
32
【答案】D
【解析】因为函数为偶函数，且在0,
5年高考3年模拟π3 单调递减，所以φ=π2+k πk ∈Z ，而0<φ<π，则φ=π2，于是f (x )=A cos ωx (ω>0)，函数在0,π3 单调递减，且在该区间上没有零点，所以0<π3ω≤π2⇒ω∈0,3
2 .故选：D .
7.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)直线x -y +1=0经过椭圆x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 的左焦点
F ，交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若FC
=2AC ，则该椭圆的离心率是( )A.
10-2
2
B.
3-12
C.22-2
D.2-1
【答案】A
【解析】由题意可知，点F -c ,0 在直线x -y +1=0上，即1-c =0，可得c =1，
直线x -y +1=0交y 轴于点C 0,1 ，
设点A m ,n ，FC
=1,1 ，AC =-m ,1-n ，
由FC =2AC 可得-2m =121-n =1 ，解得m =-12
n =12
，
椭圆x 2a 2+y 2b
2=1a >b >0 的右焦点为E 1,0 ，则AE =1+12 2+0-12 2=10
2，
又AF =-1+12 2+0-12 2=22，∴2a =AE +AF =10+2
2
，
因此，该椭圆的离心率为e =2c 2a =210+22
=410+2
=410-2 8=10-2
2.
故选：A .
8.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知△OAB ，OA =1，OB =2，OA ⋅OB
=-1，过点O 作OD 垂
直AB 于点D ，点E 满足OE =12
ED ，则EO ⋅EA
的值为( )
A.-328
B.-121
C.-29
D.-221
【答案】D
【解析】由题意，作出图形，如图，
∵OA =1，OB =2，OA ⋅OB
=-1∴OA ⋅OB =1×2cos ∠AOB =2cos ∠AOB =-1，∴cos ∠AOB =-12
，
由∠AOB ∈0,π 可得∠AOB =2π
3
，
∴AB =OA 2+OB 2-2⋅OA ⋅OB ⋅cos ∠AOB =7，
又S △AOB =12⋅OA ⋅OB ⋅sin ∠AOB =12⋅OD ⋅AB =32，则OD =3
7
，
∴EO ⋅EA =-OE ⋅ED +DA =-2OE 2=-29⋅OD 2=-29×37=-2
21
.
故选：D ．
9.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)若函数f x =e x -2x 图象在点x 0,f x 0 处的切线方程为y =kx +b ，则k -b 的最小值为( )A.-2 B.-2+
1
e
C.-
1e
D.-2-
1e
【答案】D
【解析】由f x =e x -2x 求导得：f (x )=e x -2，于是得f (x 0)=e x 0
-
2，
函数f (x )=e x -2x 图象在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y -(e x 0
-2x 0)=(e x 0
-2)(x -x 0)，
整理得：y =(e x 0
-2)x +(1-x 0)e x 0
，从而得k =e x 0
-2,b =(1-x 0)e x 0
，k -b =x 0e x 0
-2，
令g (x )=xe x -2，则g (x )=(x +1)e x ，当x <-1时，g (x )<0，当x >-1时，g (x )>0，于是得g (x )在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增，则g (x )min =g (-1)=-2-1e
，所以k -b 的最小值为-2-1
e
.故选：D
10.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知定义域是R 的函数f x 满足：∀x ∈R ，f 4+x +f -x =0，f 1+x 为偶函数，f 1 =1，则f 2023 =( )A.1 B.-1
C.2
D.-3
【答案】B
【解析】因为f 1+x 为偶函数，所以f x 的图象关于直线x =1对称，所以f 2-x =f x ，又由f 4+x +f -x =0，得f 4+x =-f -x ，所以f 8+x =-f -4-x =-f 6+x ，所以f x +2 =-f x ，所以f x +4 =f x ，故f x 的周期为4，所以f 2023 =f 3 =-f 1 =-1．故选:B ．
11.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六
边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109∘28 ，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF -A B C D E F 的三个顶点
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A ,C ,E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M -ABF ,O -BCD ,N -DEF ，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则( )
A.tan θ=3
3tan54∘44 B.sin θ=
3
3
tan54∘s θ=3
3tan54∘44
D.tan θ=
3
tan54∘44 【答案】C
【解析】先证明一个结论：如图，△ABC 在平面α内的射影为△ABC ，
C -AB -C 的平面角为θ,θ∈0,π
2 ，则cos θ=S △ABC
S △ABC
.
证明：如图，在平面β内作CE ⊥AB ，垂足为E ，连接EC ，
因为△ABC 在平面α内的射影为△ABC ，故CC ⊥α，因为AB ⊂α，故CC ⊥AB ，因为CE ∩AB =E ，故AB ⊥平面ECC .因为EC ⊂平面ECC ，
故C E ⊥AB ，所以∠CEC 为二面角的平面角，所以∠CEC =θ.
在直角三角形CEC 中，cos ∠CEC =cos θ=EC
EC
=S △ABC
S △ABC .由题设中的第二图可得：cos θ=
S △DBC
S △DBO
.设正六边形的边长为a ，则S △DBC =12a 2×32=34
a 2
，
如图，在△DBO 中，取BD 的中点为W ，连接OW ，则OW ⊥BD ，且BD =3a ，∠BOD =109°28 ，
故OW =32a ×1
tan54°44
，
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