2023年河北省衡水市桃城区衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校高考数学模拟试卷（一）
1. 已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 复数的虚部为( )
A. 3
B. 4
C.
D.
3. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形
ABCDEFGH，其中给出下列结论，其中正确的结论为( )
A.
与的夹角为
B.
C.
D.
在上的投影向量为其中为与同向的单位向量
4. 从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为( )
A. B. C. D.
5. 已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 在某款计算器上计算时，需依次按下“Log”、“”、“a”、“b”、“”6
个键．某同学使用该计算器计算时，误将“Log”、“”、“b”、
“，”、“a”、“”这6键，所得到的值是正确结果的倍，则( )
A. B. C. D.
7. 已知实数，，，且，则必有( )
A. B. C. D.
8. 在棱长为6的正方体中，M是BC的中点，点P是正方形
面内包括边界的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是( )
A.
36 B. 24 C. D.
9. 2022年1月，社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别
占、、和，则适合表示上述调查结果的是( )
A. 柱形图
B. 茎叶图
C. 扇形图
D. 频率分布直方图
10.
已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是( ) A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为
C. 数列为递增数列
D. 数列为递增数列
11. 已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，
点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A. 存在P使得
B. 的最小值为
C. 若，则的面积为9
D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值
12. 曲线的曲率就是针对曲线上㭉个克的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率
，其中是的导函数( )
A.
若函数则曲线在点与点处的弯曲程度相同
B. 若是二次函数．则曲线的曲率在顶点处取得最小值
C.
若函数，则函数的值域为
D. 若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为
13. 设…，则a除以9所得的余数为__________.
14. 规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角
坐标系，如图，设母球A的位置为，目标球B的位置为，要使目标球B向
处运动，则母球A的球心运动的直线方程为______ .
15. 已知正实数x，y满足，则的最大值为______.
16. 已知菱形ABCD的边长为2，将沿BD折起，使得点A至点P
的位置，得到四面体当二面角的大小为时，四面体
的体积为______；当四面体的体积为1时，以P为球心，PB的长为半径的球面被平面BCD所截得的曲线在内部的长为______.
17. 已知，抛物线与x轴正半轴相交于点设为该抛物线在点A 处的切线在y轴上的截距．
求数列的通项公式；
设，求证：且
18. 已知中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
求角A的大小；
设点D为BC上一点，AD是的角平分线，且，，求的面积．
19. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别
是AB，AD，CD的中点．设，，
求证；
求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
20. 统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用
表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望；
另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
请从分层抽样的角度估计池塘乙电的鱼数.
统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻
能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请
从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
21. 已知双曲线C：的焦距为，且过点，直线l
与曲线C右支相切切点不为右顶点，且l分别交双曲线C的两条渐近线与M，N两点，O
为坐标原点.
求双曲线C的方程；
求证：面积为定值，并求出该定值.
22. 已知函数
若，求函数的单调递增区间；
设，是的两个不相等的正实数解，求证：
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：全集，，，
，，
故选：
先求出，，再求出
本题考查集合的交集及补集运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：，所以虚部是
故选：
利用复数的除法法则计算得到，从而得到虚部．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于A：与的夹角为，故不正确；
对于B：，故不正确
对于C：，故正确；
对于D：在上的投影向量为其中为与同向的单位向量，故不正确．
故选：
利用正八边形的性质，向量的有关运算性质，即可判断出结论．
本题考查正八边形的性质，向量的有关运算性质，解题中需要一定的推理能力，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：区间的整数有2，3，4，5，6，7，8，其中是质数的有2，3，5，
从属于区间的7个整数中任取两个数，
则至少有一个数是质数的概率为
故选：
>5年高考3年模拟
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