笔记本电脑的定价及选购—数学建模优秀论⽂
数学建模论⽂
摘要
本⽂针对笔记本电脑的定价及选购这⼀问题，根据题⽬要求，选择6个品牌每个品牌6种型号的电脑，通过查数据分析相关资料，综合运⽤曲线拟合和层次分析法等⽅法来建⽴模型，使问题得到很好的解决。
问题（1），选择的苹果、戴尔、惠普、东芝、联想（含THINKPAD）和宏基6个品牌的笔记本，通过对它们进⾏样本采集、数据处理分析，发现⽬前市场主流笔记本产品的价格定位规律为：①利⽤品牌效应⼤幅度提⾼产品价格。②利⽤消费者注重产品功能⽽忽略硬件质量的误区，在产品功能上不断创新改进⽽在硬件材料上进⾏相应删减，以获得更的的利润空间。③在产品上市初期，往往将售价定的较⾼，使其利润率达到30%左右，随着产品的更新换代，价格下降，当降到⼀定程度时，⼚商停产并同时开发⽣产利润率更⾼的新产品。
问题（2），对问题（1）中已选中的品牌电脑，查其价格以及国内所占市场份额的数据，⽤Matlab做出散点图并进⾏最⼩⼆乘曲线拟合，发现它们两者之间呈负相关性，符合指数曲线拟合。随后分析⼴告投⼊对这种关系的影响从⽽建⽴罗杰斯帝克模型，画出相应图形，得到不同品牌的笔记本⼴告投⼊在⼀定范围内才起作⽤的，使产品的价格和市占率都提⾼了。
问题（3），就品牌、功能、价格等为准则，6种品牌36种型号的笔记本电脑为⽬标，针对不同的⼤学⽣消费体的需求，⽤层次分析法进⾏求解，对于功能敏感型的顾客推荐购买宏基牌笔记本电脑，价
格敏感型的顾客适合购买戴尔笔记本电脑，品牌敏感型的顾客适合购买苹果牌笔记本电脑。
最后，对该问题做了更深刻的探讨，对模型的优缺点进⾏评价。
关键词：曲线拟合灰⾊预测模型罗捷斯蒂克模型层次分析法
⼀、问题的提出
随着笔记本电脑在校园⾥的普及，各⼤笔记本⼚商都已将学⽣视为巨⼤的潜在消费体，在产品功能定位、价格定位上制定了相应的⽣产和销售策略。现在，就此现象，请搜集数据，建⽴数学模型，回答以下问题：
（1）从笔记本电脑品牌、外观、功能、质量等⽅⾯分析⽬前市场主流笔记本产品的价格定位规律。这⾥主流产品以戴尔、惠普、东芝、联想（含THINKPAD）苹果、宏基等笔记本电脑现有市场主流型号为例。
（2）分析各品牌笔记本的价格策略与市场占有份额的关系，并指出⼴告投⼊对这种关系的影响。
（3）按照不同的购买⼒，不同的功能要求，建⽴数学模型进⾏分析，为⼤学⽣消费体推荐你认为的理想笔记本电脑（品牌及型号）。
⼆、问题的分析
在当前⼤学⽣成为笔记本电脑巨⼤的潜在消费体的环境下，⽣产商根据消费⼈的特点，在产品功能定位、价格定位上制定相应的⽣产销售策略是极为必要的。
对于问题（1），选取六种品牌的笔记本作为样本，通过查随即得到他们当中各个型号的笔记本的配置、价格及上市时间等参数，针对笔记本的配置功能，确定评判标准。选取CPU主频率、内存⼤⼩、硬
盘⼤⼩、显存⼤⼩、屏幕⼤⼩等5个指标，通过对各个指标进⾏评分来评判配置功能的好坏（满分为100）。然后将配置功能所得分数相近的不同品牌笔记本进⾏价格⽐较，得到品牌效应对价格定位的影响；再将同⼀品牌配置情况不同的笔记本进⾏价格⽐较，得出配置功能对价格的影响。⽽质量⽅⾯，则通过对各个品牌及它们各⾃的型号笔记本的材质进⾏分析得出结论。⼀般来说，品牌好的产品其外观都是挺好的。
对于问题（2），各品牌笔记本的价格策略与市场占有率的关系会因为市占率的不同⽽不同。⼀般情况下为：市占率分为独占状态、寡占状态、分散状态、影响状态和存在状态五个阶段，这五个阶段的价格
策略是不同的。⽽本⽂所选的6个品牌在中国笔记本市场的占有率⼤致处在影响状态阶段。通过excel和matlab对数据进⾏处理，发现此阶段的市占率与价格策略呈负相关关系，⽤matlab进⾏曲线拟合，得到相应的价格策略与市占率曲线函数表达式。然后考虑⼴告投⼊对这种关系的影响。因为根据经济学上的知识，⼴告投⼊与产⽣的效益满⾜⼀函数关系，即罗杰斯蒂克模型。通过这个模型，求出⼴告投⼊对这种关系的影响。
对问题（3），根据不同⼤学⽣的不同需求，推荐不同类型的笔记本电脑。⾸先，将⼤学⽣消费⼈分为品牌敏感型、功能敏感型、价格敏感型三种，从⽽建⽴层次分析模型，为⼤学⽣消费体推荐理想笔记本电脑。
三、基本假设
①查到的数据都具有真实性。
②所选的品牌及型号具有代表性。
③品牌效应与⼴告费的关系为连续函数，但品牌效应有最⼤限度。
④⼈们⼀旦知道这种产品，就不会忘记。⑤电脑市场稳定、近期不会出现较⼤波动。四、定义符号说明
（1）ij a ：表⽰第i 种型号，第j 种指标（i =1,2,…n ；ｊ＝1,2,…n ）；（2）ij
a W ＝（40 5 15 20 20）：表⽰5种指标对应的权重满分；
（3）i C ：表⽰第i 类产品的得分；
（4）C ：表⽰每种类型电脑之间的分数差；
（5）ij λ：表⽰第i 类机型的第j 项指标的实际得分与第j 项指标的满分⽐值；
（6）()N m ：表⽰⼴告投⼊为m 时，产⽣的品牌效应；（7）0N ：表⽰初始品牌效应；（8）K ：表⽰最⼤品牌效应；（9）0P ：表⽰模型精度；（10）ε：表⽰相对误差。五、模型的分析、建⽴及求解
5.1.对于问题（1）的价格定位问题，⾸先考虑配置功能的影响，将配置功能量化。考虑到ij a =( CPU 主频率、内存⼤⼩、硬盘⼤⼩、显存⼤⼩、屏幕⼤⼩)这五种指标的边际成本有明显差异，所以有必要按照边际成本的⼤⼩进⾏权重的分配。最终确定CPU 主频率、内存、硬盘⼤⼩、显存、屏幕⼤⼩五种指标的权重分别为：
ij a W =（40 5 15 20 20）i=1,2,…n
j=1,2,…n.然后，根据权重标准对每种型号的笔记本打分，最后记下总分5
1
ij
i ij a j C W λ==∑ 1,2,...i n = 。将
六种品牌中，分数相近的型号放在⼀起，对其进⾏数据分析。
1）配置相近，品牌不同的电脑价位分析
为了研究品牌效应在笔记本电脑市场上的影响，我们将分数相差（()||i i n C C C +=-< 5 i k =）的六种品牌的笔记本电脑放在⼀起，进⾏价格对⽐，如下图所⽰：
图1 品牌与价格的关系图
由上图可知，在配置相似的情况下，苹果电脑的价格明显⽐其他品牌要⾼，这⾜以彰显出苹果电脑巨⼤的品牌效应。联想的thinkpad 紧随其后，由于其前⾝是IBM 公司旗下的品牌所以thinkpad 的品牌效应在⼤众消费者⼼⽬中的地位也是⽐较⾼的。据以上分析，笔记本电脑的品牌在产品定价中起到了不⼩的作⽤。
联想电脑型号2）品牌相同，功能不同的电脑价位分析
在品牌相同的情况下，不同功能配置的笔记本电脑的价位肯定有所区别，以联想thinkpad 为研究对象，我们抽取了六个配置得分不同的型号，将它们进⾏价格对⽐，如下图所⽰：
图2 功能与价格的关系图
这六种型号的笔记本电脑的性能配置依次增⼤，但其价格并没有依次上升。例如，性能分最⾼的E40价格却⽐性能稍逊的
T410要低，这违反了我们认为的功能越强⼤价格越⾼的常理。所以，单从功能上来判断笔记本电脑的价格的⽅法是⽚⾯的，不完整的。要解释这⼀问题，我们还应该考虑笔记本的质量。
3）考察电脑的质量
这⾥所指的质量以笔记本电脑的材质作为考察对象。通过查得的thinkpad六种型号的参数资料，将六种型号的材质整理成下表：
表1 对材质的分析
注：1.ABS ⼯程塑料
2.CFRP 碳纤维强化塑料
3.GFRP 玻璃纤维强化塑料
单位厚度承受相同的压⼒，形变程度由⼩到⼤依次为：CFRP<；镁合⾦CFRP>GFRP>ABS 材料。
这也就解释了，为什么E40在六种型号电脑中性能最⾼⽽价格却很低，性能稍逊的T410价格却那么⾼。关键还是两种型号所采⽤的材质不同。E40采⽤的是价格低廉、性能⼀般的ABS材料，⽽T410所采⽤的CFRP和镁合⾦等材料，其质量要好很多，与此同时，产品的成本也随之上升。
4）考虑上市时间的影响
以联想thinkpad的R400A52型号为研究对象。它的上市时间为2009年2⽉份。通过市场调查，得到这款电脑从上市⾄今的售价情况，见下图：
图3 市场价位随时间变化关系图
由图可见，R400A52在上市之初，达到7600元的⾼位，⽽经过⼀
年半的时间，它的价格就下降了29%。考虑到近⼀年来⼈民币通货膨胀的因素后，它是实际售价下降了近30%。值得注意的是，这款电脑在今年4⽉份就停产。通过市场调查了解到A52的停产原因并不是质量有问题，⽽是像笔记本电脑这种快速更新换代的IT产品随着时间的推移，其价格会不断降低。当价格降到⽣产⼚商所规定的利润率以下的时候，该产品就会停产。⽣产商转⽽⽣产利润空间更⼤的新产品。例如，在R400A52停产的同时，thinkpad推出了利润空间更⼤的E40系列。在性能
上，E40有过之⽽⽆不及。但在硬件配置上却明显不及R400，见下表：
表2
这些硬件上的品质降低⼤幅度降低了E40成本。这使得E40在价格上保持优势的同时⼜能保持巨⼤的利润空间。
通过以上分析可知笔记本⽣产商的定价策略为：
1)利⽤品牌效应⼤幅度提⾼产品附加值。
2)利⽤消费者注重产品功能⽽忽略硬件质量的误区，在产品功能上不断创新和改善⽽在硬件材料上进⾏相应的删减，以获得更⼤的利润空间。
3)在产品上市初期，往往将售价定的较⾼，使其利润率达到30%左右。
随着产品的更新换代，价格的下降，当该产品的价格下降到⼀定程度的时候，⼚商开始停产该产品转⽽⽣产利润率更⾼的新产品。
5.2.1.价格与市占率的关系模型
对于问题（2），查了历年的各品牌产品市占率，如下：
表3 2006-2010年各品牌笔记本市场占有率（%）
通过matlab将价格与市占率的关系⽤最⼩⼆乘拟合求出，具体如下：1）⽤matlab求解出价格与市占率的关系图，如下：图4 价格与市占率关系图
根据以上这幅图，假设占有率与价格的关系满⾜指数拟合函数关系，关系式为：
bx
y ae
= （1）
为了求出参数a 、b ，分别两边取对数，得：
Iny Ina bx =+ （2）
可以把上式（2）看作⼀次线性函数，A=（,b Ina ），使得
6
2min 1(,)[()].i i i Q a b f x Iny ==-∑⽤解超定⽅程的⽅法求解，此时，
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