2024学年浙江省湖州市9+1高中联盟长兴中学第二学期高三年级数学试题月考试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种
B ．20种
C ．22种
D ．24种
2．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤
B ．少1斤
C ．多
1
3
斤 D ．少
13
斤 3．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，
AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为
A ．0
B ．
63
C ．
33
D ．1
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．83
B ．3
C ．
113
D ．4
5．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =
D ．
13122
九校联盟z i i =++ 6．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实
质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即222
22
21[()]42
c a b S a c +-=-若ABC ∆的面积11S =
3a =2b =，则sin A 等于（ ）
A 55
B 11
C 5511
D ．
1120或
11
36
7．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2
B ．﹣1
C ．2
D ．4
8．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2
212
x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，
则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）
A ．65,2⎛-- ⎝⎭
B ．66
5,,533⎛⎛- ⎝⎭⎝ C ．65⎝
D ．665,,52⎛⎛ ⎝⎭⎝
9．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3
B ．
2 C ． 33D ． 22
10．已知函数()2
2
cos sin 4f x x x π⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
，则()f x 的最小值为( ) A ．212
+
B ．
12
C ．212
-
D ．214
-
11．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．
73
B ．14
C ．
203
D ．7
12．已知ABC △的面积是
1
2
,1AB =,2BC = ，则AC =（ ） A ．5
B ．5或1
C ．5或1
D ．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知变量，满足约束条件
，则
的最小值为__________．
14．已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且2469a a a ++=，则()15793
log a a a ++=______.
15．（5分）函数2()ln(1)43=-++-f x x x x ____________．
16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC ==，2AB =，5BC =3AC =，E ，F
分别为AC ，PB 的中点，3
2
EF =
，则球O 的体积为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．
()1求B 的值；
()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =
，
7cos 25
A =-，求b 的值. 18．（12分）已知函数()tan sin 2202f x x a x x x π⎛
⎫
=+-≤< ⎪⎝
⎭
． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
19．（12分）在极坐标系中，已知曲线1:cos 3sin 10C ρθρθ-=，2:2cos C ρθ=． （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
（2）若曲线1C 、2C 交于A 、B 两点，求两交点间的距离．
20．（12分）某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为
13
，每步上两个台阶的概率为2
3．为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向
上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n 个台阶的概率为n P ，其中*n N ∈，且998n ≤． （1）若甲走3步时所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）证明：数列1{}n n P P +-是等比数列；
（3）求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率． 21．（12分）设函数()()1f x x x a a R =-+-∈. （1）当4a =时，求不等式5f x
的解集；
（2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.
22．（10分）在最新公布的湖南新高考方案中，“312++”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：
（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？ （2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.
附：()
()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
（3）某高校A 在其热门人文专业B 的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2
门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备A 高校B 专业报名资格的人数为X ，用样本的频率估计概率，求X 的分布列与期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 【解题分析】
分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【题目详解】
根据医院A 的情况分两类：
第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有22
32C A 种不同 分配方案，当医院B 有2人，则共有12
22C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时， 共有2
2
32C A +1
2
2210C A =种不同分配方案；
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