概率
主讲：黄冈中学优秀数学教师　余燕
考点回顾：
考点一：事件
1、事件的分类
2、事件的概念
  （1）必然事件：在一定条件下，有些事件我们事先能肯定它一定会发生，这样的事件是必然事件．
  （2）不可能事件：在一定条件下，有些事件我们事先知道它一定不会发生，这样的事件是不可能事件．
  （3）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件．
考点二：概率
1、概率：
  在n次重复试验中，如果事件A发生的次数为m，当n越来越大时，频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
2、事件的慨率：
  （1）必然事件的概率：P（A）＝1．
  （2）不可能事件的概率：P（A）＝0．
  （3）随机事件的概率：0＜P（A）＜1．
考点三：用频率估计概率
  在大量重复试验中，事件A出现的频率为，我们可以估计事件A发生的概率大约为．
考点四：求概率的常用方法
1、重复试验法：用重复试验（试验次数足够多）的方法观察频率，进而用频率去估计概率的值．
2、列表法或画树状图法：一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多的时候，为不重不漏地列出所有的可能结果，通常采用列表法或画树状图法．
考点五：游戏规则公平的判定与修正
1、判断游戏规则是否公平：要判断游戏规则是否公平，需判断游戏双方获胜的概率是否相等，只有双方获胜的概率相等时，游戏才公平，否则，谁获胜的概率大，游戏规则就对谁有利．
2、修改不公平的游戏规则：修改游戏的规则一般都要依据题目的要求进行，不能随心所欲．修改后的游戏规则是否对双方公平的依据还是要看双方获胜的概率是否相等．若相等，则游戏规则是公平的；否则需要重新进行修改或设计游戏规则．
考点精讲精练：
例1、下列事件中，属于随机事件的是（　）
A，通常水加热到100℃时沸腾
B．测量孝感某天的最低气温，结果为－150℃
C．一个袋中装有5个黑球，从中摸出1个是黑球
D．篮球队员在罚球线上投篮1次，未投中
答案：D
变式练习1、下列事件中，属于必然事件的是（　）
A．抛掷一枚1元硬币落地后，有国徽的一面向上
B．打开电视任选一频道，正在播放襄阳新闻
C．到一条线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
D．某种的中奖率是10%，则购买该种100张一定中奖
解析：
  抛掷一枚1元硬币，可能国徽的一面向上，也可能国徽的一面向下，所以不是必然事件；打开电视任选一频道， 不一定正在播放襄阳新闻，所以不是必然事件；到线段两端点距离相等的点，一定在该线段的垂直平分线上，所以是必然事件；的中奖率是10%并不是说买 100张就一定能中奖，这是随机事件．
答案：C
例2、用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，若宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（　）
A．0.2      　B．0.3
C．0.4      　D．0.5
解析：108÷360＝0.3．
答案：B
变式练习2、小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC上的点，且EF∥AB，点M、N在EF上，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（  ）
A．        　B．
C．        　D．
解析：
  因为四边形ABCD是矩形，所以M到AB的距离、N到CD的距离之和等于矩形的边长BC，所以△ABM、△CDN的面积之和为，即为矩形ABCD面积的，所以投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是，故选C．
答案：C
例3、如图，把一个圆形转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为__________．
答案：
变式练习3、
  某校从参加计算机测试的学生的成绩中抽取了60名学生的成绩（40～100分）进行分析，并将其分成了六 段后绘制成如图所示的频数分布直方图（其中70～80分数段看不清楚），若60分以上（含60分）为及格，试根据图中信息估计这次测试的及格率为 __________．
答案：[60－(6＋9)]÷60＝75%
例4、有一箱规格相同的红、黄两种颜的小塑料球共1000个．为了估计这两种颜的球各有多少个，小明将箱 子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为 __________．
答案：1000×0.6＝600(个)
变式练习4、
  研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜不一样的红球和黄球．怎样估算不同颜球的数量？
  操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．
  摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中再继续．
  活动结果：摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表：
球的颜
无记号
有记号
红
黄
红
黄
摸到的次数
18
28
2
2
  推测计算：由上述的摸球实验可推算：盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？盒中有红球多少个？
解：
  由题意可知：50次摸球实验话动中，出现红球20次，黄球30次，
  所以红球所占百分比为，
  黄球所占百分比为1－40%＝60%．
  总球数为．
  红球数为100×40%＝40（个）．
例5、甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛，求下列事件的概率．
  （1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学；
  （2）随机选取2名同学，其中有乙同学．
解：
  （1）己确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是；
  （2）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学，所有可能出现的结果有：（甲，乙）、（甲，丙）、 （甲，丁）、（乙，丙）、（乙、丁）、（丙、丁），共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“随机选取2名同学，其中有乙同学”（记为事件 A）的结果有3种，所以．
变式练习5、
  在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．求下列事件的概率：
  （1）两次取的小球的标号相同；
  （2）两次取的小球的标号的和等于4．
解：画出树状图如图：
  由图可知共有16种等可能的结果．
  （1）两次取的小球的标号相同（记为事件A）的结果有4种，则．
  （2）两次取的小球的标号的和等于4（记为事件B）的结果有3种，则．
例6、为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的一个游戏：
  口袋中有编号分别为1、2、3的红球三个和编号为4的白球一个，四个球除了颜和编号不同外，没有任何别 的区别，摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛．先甲摸两次，每次摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球．如果甲摸出的两个球 都是红，甲得1分，否则，甲得0分；如果乙摸出的球是白，乙得1分，否则，乙得0分；得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来．
  （1）运用列表法或画树状图法求甲得1分的概率；
  （2）这个游戏是否公平？请说明理由．
解析：
  （1）列表如下：
或画树状图如图：
  由以上可得甲得分的情况有12种，而甲得1分有6种情况，故．
  （2）不公平．
  ，
  ∴P（甲得1分）≠P（乙得1分），∴这个游戏不公平．
变式练习6、
  有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．
  （1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；
  （2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；
  （3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px＋qy＝360，求每种平面镶嵌中p、q的值．
解：
  （1）所有出现的结果共有如下12种：
第一次/第二次
A
B
C
D
A
　
BA
CA
DA
B
AB
　
CB
DB
C
AC
BC
421事件内容
　
DC
D
AD
BD
CD
　
  （2）因为12种结果中能构成平面镶嵌的有四种：AB、AD、BA、DA，
  所以P（两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌）＝；
  （3）当正三角形和正方形构成平面镶嵌时，则有60p＋90q＝360，即2p＋3q＝12．
  因为p、q是正整数，所以p＝3，q＝2，
  当正三角形和六边形构成平面镶嵌时，
  则有60p＋120q＝360，即p＋2q＝6．
  因为p、q是正整数，
  所以p＝4，q＝1或p＝2，q＝2．
- 返回 -