关于用割圆术推导
圆周率的计算公式的方法
摘要：圆周率的计算是有据可依的，它的计算公式在数学上可以推导出来。利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。
关键词：割圆术；直径分割；半径分割；圆心角。
1、绪言
利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。
2、用外切圆分割正多边形
假设有一个圆，半径为R，圆心为O，用n根线段（直径）将其均匀分割，如图所示。将各端点连接起来，那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。由此可见，此圆周是正多形的外切圆。
假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB，圆心角为α ,设AB=S，正多边形的周长为L，依题意，有：
OA=OB=R
正多边形的周长L为：
L=2*n*S
圆心角α和分割圆的线段（直径）n的关系为：
根据三角函数，可以列出正多边形的边长S和圆周半径R的关系式，为：
S2=R2+R2-2*R*R*cos（α）
2.1、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式
如果分割圆的线段（直径）n越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长，因此，依此就可推导出圆周率的计算公式，为：
2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式
若以圆心角α为变量，也可得到圆周率的另一种计算公式。
圆心角α值越小，分割圆的直径数n就越多，圆就被分割得越细，组成正多边形的边就越多，正多边形的周长就越接近于圆的周长。因此，依题意有：
将n=代入上式，可得：
3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式
过O点作AB的垂线OD，如图所示：
在ΔAOD中，依题意有：
OA=R
∠AOD=
AD=
根据三角函数，有如下的关系式：
AD=R*sin()
=R*sin()
S=2*R*sin()
正多边形的周长L为：
L=2*n*S
=2* * 2*R*sin()
3.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式
圆周率的计算公式为：
3.2、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式
若要以线段（直径）n为变量，将a =代入上式，即可得
4、用内切圆分割正多边形
在上面的圆周率推导中，是以正多边形的外切圆来进行的。也可以以正多边形的内切圆来推导。用n根线段（直径）将圆周均匀分割，在端点处作该线段的垂线，各垂线所形成的图形就是一个正多边形，圆圈就是正多边形的内切圆。如下图所示：
假设组成正多边形的一个三角形为ΔAOB，垂足点为D。边长AB=S，正多边形的周长为L，圆心角为α。依题意，有：
OD=R
α的大小和分割的线段（直径）n有关联，n越大，正多边形的边就越多，α就越小；反之，意然。它们的关系式如下：
在ΔOAD中，根据三角函数关系，可列出如下关系式：
AD=
∠AOD=
AD=OD*tg()
= R* tg()
S= 2*R* tg()
正多边形的周长L为：
L=2*n*S
=2** 2*R* tg()
4.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式
如果分割圆的线段（直径）n越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。那么正多边形的周长就越接近于圆的周长，因此，依此就可得出圆周率的计算公式，为：
4.2、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式
将代入上式，可得到以线段（直径）n为变量的另一种形式的计算式子：
5、圆周率的取值及祖冲之密率证明
将以上推导的圆周率的计算公式整理如下：
或：多边形
公式和、和、和是等价的，可以相互转换，转换因子为。
（用公式计算圆周率时，理论分析上，n只能取正整数，a为能被360整除并且结果为偶数的值，这样，才能和题意所说的条件相符合，也只有这样，计算出的圆周率值才能越准确。）