求多边形边数的两种方法
一、算术方法
我们知道：对于边数是的凸多边形而言，其外角的和是常数即360º，与多边形的边数无关。当已知正多边形的一个外角（或内角）度数大小时，可直接由求出边数。
例1．已知一个正多边形的每个外角都是72º，求多边形的边数。
解：因为外角的和是360º，所以，边数=.
例2．已知一个正多边形的每个内角都是144º，求多边形的边数。
解：因为正多边形的每个外角都是180º－144º=36º
而外角的和是360º，所以边数=.
评注：这种方法对于求正多边形的边数的问题是十分有效的，避免了代入内角和公式计算时，导致的大量的运算。
二、代数方法
我们知道：对于边数是的凸多边形，其内角的和是，与多边形的边数有关。利用内角的和公式，列方程（组）求边数。
例3．凸多边形除去一个内角之外，其余内角的和为2570º，求边数和该内角的大小。
解：设该内角的度数为度，边数为。由内角和公式得：
因为为正整数，
所以：
评注：利用隐含条件：“为正整数，”，求出满足二元一次不定方程的正整数解，是解答上述类型的问题的一般方法。
例4、一个凸多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是2520º，求原多边形的边数。
分析：一个凸多边形截去一个角后，会出现三种情况：
（1）边数与原凸多边形的边数一样，如图1；
（2）边数比原凸多边形的边数减少1条，如图2；
（3）边数比原凸多边形的边数多1条，如图3。
解：（1）边数与原凸多边形的边数一样，设边数为。
（2）边数比原凸多边形的边数减少1条，边数为；
（3）边数比原凸多边形的边数多1条，边数为。
评注：考虑问题必须周密，防止出现遗漏。
如图1          如图2              如图3
例4、已知两个凸多边形的内角和是3600º，并且两个凸多边形的边数比是
1：2，求两个多边形的边数。
解：依题意设两个多边形的边数分别是、，则：
=16。
两个多边形的边数分别为8和16。
三、同步练习：
1． 个凸多边形的每个内角的度数都是150º，求它的边数。
2． 各个内角都相等的凸多边形中，一个外角等于它相邻内角的，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数。
3． 凸边形的内角和与外角和之比是9∶2，求的值。
4．两个多边形的边数之比是3：2，内角和之比是7：4，求两个多边形的边数。
同步练习答案：
1. 解法1：因为多边形的每个内角的度数都是150º，
所以，多边形的每个外角的度数都是
180º－150º=30º，
因为凸多边形外角和=360º，
所以边数=360÷30=12。
解法2：=150
n=12
2. 解法1：因为一个外角与它相邻内角的和=180º，设内角为x 度.
所以,多边形
=120n
n=6
3. 解：
4. 解：设两个多边形的边数分别是：。
所以。边数分别是9，6。