正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析
【考纲要求】
1.了解正多边形的概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法;会计算弧长及扇形面积、圆锥的侧面积及全面积;
2.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养合情推理能力,发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力;通过这一章的学习,进一步培养综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
 
【考点梳理】
、正多边形和圆
1、正多边形的有关概念:
(1) 正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
  (2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
  (3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
  (4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.(正多边形内切圆的半径)
  (5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2、正多边形与圆的关系:
  (1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
  (2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
  (3)把圆分成n(n≥3)等分,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.
(4)任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.
3、正多边形性质:
  (1)任何正多边形都有一个外接圆.
  (2) 正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.当边数是偶数时,它又是中心对称图形,它的中心就是对称中心.
(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比,边心距的比,半径的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方.
(4)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.
要点诠释:
(1)正n边形的有n个相等的外角,而正n边形的外角和为360度,所以正n边形每个外角的度数是;所以正n边形的中心角等于它的外角.
(2)边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长(或半径、边心距)的比.面积比等于它们边长(或半径、边心距)平方的比.

考点二圆中有关计算
1.圆中有关计算
  圆的面积公式,周长.
  圆心角为、半径为R的弧长.
  圆心角为,半径为R,弧长为的扇形的面积.
  弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
  圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为的圆柱的体积为,侧面积为,全面积为.
  圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为,高为的圆锥的侧面积为,全面积为,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
要点诠释:
  (1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,即
  (2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.
  (3)扇形面积公式,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点类似,可类比记忆;
  (4)扇形两个面积公式之间的联系:.
【典型例题】
类型一、正多边形有关计算   
1图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形
(1)如图②,AE是O的直径,用直尺和圆规作O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的前提下,连接OD,已知OA=5,若扇形OAD(AOD<180°)是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于          
思路点拨
(1)作AE的垂直平分线交O于C,G,作AOG,EOG的角平分线,分别交O于H,F,反向延长 FO,HO,分别交O于D,B顺次连接A,B,C,D,E,F,G,H,八边形ABCDEFGH即为所求;
(2)由八边形ABCDEFGH是正八边形,求得AOD=3=135°得到的长=,设这个圆锥底面圆的半径为R,根据圆的周长的公式即可求得结论.
【答案与解析
(1)如图所示,八边形ABCDEFGH即为所求,
(2)八边形ABCDEFGH是正八边形,
∴∠AOD=3=135°,
OA=5,
的长=
设这个圆锥底面圆的半径为R,
2πR=
R=,即这个圆锥底面圆的半径为
故答案为:
【总结升华】
本题考查了尺规作图,圆内接八边形的性质,弧长的计算,圆的周长公式的应用,会求八边形的内角的度数是解题的关键.
举一反三:
变式1如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地面的距离是______米.
【答案】.
        解析:如图,以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C=
多边形
所以AB=AO1+O1C+BC=
变式2同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.
【答案】
变式3一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形,边长都为2,则扇形纸板和圆形纸板的面积比是(  )
A.5:4        B.5:2        C.:2    D.
【答案】A.
【解析】解:如图1,连接OD,
四边形ABCD是正方形,
∴∠DCB=ABO=90°,AB=BC=CD=2,
∵∠AOB=45°,
OB=AB=2,
由勾股定理得:OD==2
扇形的面积是=π;
如图2,连接MB、MC,
四边形ABCD是M的内接四边形,四边形ABCD是正方形,
∴∠BMC=90°,MB=MC,
∴∠MCB=MBC=45°,
BC=2,
MC=MB=
∴⊙M的面积是π×(2=2π,
扇形和圆形纸板的面积比是π÷(2π)=
故选:A.
类型二、正多边形与圆有关面积的计算
2(1)如图(a),扇形OAB的圆心角为90°,分别以OA,OB为直径在扇形内作半圆,P和Q分别表示阴影部分的面积,那么P和Q的大小关系是(  ).