本系列共15讲
第十讲逻辑推理(一)
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文档贡献者:与你的缘
由于数学学科的特点,通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径。为了使同学们在思考问题时更严密更合理,会有根有据地想问题,而不是凭空猜想,这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。
例1公路上按一路纵队排列着五辆大客车,每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志。每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市,有三辆开往B市;并且他们都只能看见在自己前面的车的标志。调度员听说这几位司机都很聪明,没有直接告诉他们的车是开往何处的,而让他们根据已知的情况进行判断。他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的。这个司机看看前两辆车的标志,想了想说“不知道”。第二辆车的司机看了看第一辆车的标志,又根据第三个司机的“不知道”,想了想,也说不知道。第一个司机也很聪明,他
根据第二、三个司机的“不知道”,作出了正确的判断,
说出了自己的目的地。
请同学们想一想,第一个司机的车是开往哪儿去的?他又是怎样分析出来的?
解:根据第三辆车司机的“不知道”,且已知条件只有两辆车开往A市,说明第一、二辆车不可能都开往A市(否则,如果第一、二辆车都开往A市,那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往B市)。
再根据第二辆车司机的“不知道”,则第一辆车一定不是开往A 市的(否则,如果第一辆车开往A市,则第二辆车即可推断他一定开往B市)。
运用以上分析推理,第一辆车的司机可以判断,他一定开往B 市。
例2李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹,六个人在一起打羽毛球,举行混合双打比赛。事先规定,兄妹二人不许搭伴。
第一盘:李明和小华对张虎和小红;
第二盘:张虎和小林对李明和王宁的妹妹;
第一枚金牌
请你判断:小华、小红和小林各是谁的妹妹?
解:因为张虎和小红、小林都搭伴比赛,根据已知条件,兄妹
二人不许搭伴,所以张虎的妹妹不是小红和小林,那么只能是小华。剩下就只有两种可能了。
第一种可能是:李明的妹妹是小红,王宁的妹妹是小林;
第二种可能是:李明的妹妹是小林,王宁的妹妹是小红。
对于第一种可能,第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹,王宁的妹妹是小林,这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打,不符合实际,所以第一可能是不成立的,只有第二种可能是合理的。
所以判断结果是:张虎的妹妹是小华;李明的妹妹是小林;王宁的妹妹是小红。
例3“迎春杯”数学竞赛后,甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖。甲说:“如果我能获奖,那么乙也能获奖。”乙说:“如果我能获奖,那么丙也能获奖。”丙说:“如果丁没获奖,那么我也不能获奖。”实际上,他们之中只有一个人没有获奖,并且甲、乙、丙说的话都是正确的。那么没能获奖的同学是______。
解:首先根据丙说的话可以推知,丁必能获奖,否则,假设丁没获奖,那么丙也没获奖,这与“他们之中只有一个人没有获奖”矛盾。
其次考虑甲是否获奖。假设甲能获奖,那么根据甲说的话可以
推知:乙也能获奖;再根据乙说的话又可以推知丙也能获奖,这样就得出四个人全都能获奖,不可能。因此,只有甲没有获奖。
例4数学竞赛后,小明、小华、小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人得铜牌。王老师猜测:“小明得金牌;小华不得金牌;小强不得铜牌。”结果王老师只猜对了一个。那么小明得______牌,小华得______牌,小强得______牌。
分析逻辑问题通常直接采用正确的推理,逐一分析,讨论所有可能出现的情况,舍弃不合理的情形,最后得到问题的解答。这里以小明所得奖牌进行分析。
解:(1)若“小明得金牌”时,小华一定“不得金牌”,这与“王老师只猜对了一个”相矛盾,不合题意。
(2)若“小明得银牌”时,再以小华得奖情况分别讨论。如果小华得金牌,小强得铜牌,那么王老师没有猜对一个,不合题意;如果小华得铜牌,小强得金牌,那么王老师猜对了两个,也不合题意。
(3)若“小明得铜牌”时,仍以小华得奖情况分别讨论。如果小华得金牌,小强得银牌,那么王老师只猜对小强得奖牌的名次,符合题意;如果小华得银牌,小强得金牌,那么王老师猜对了两个,不合题意。
综上所述,小明、小华、小强分别获铜牌、金牌、银牌,符合题意。
例5有三只盒子,甲盒装了两个1克的砝码,乙盒装了两个2克的砝码,丙盒装了一个1克、一个2克的砝码。每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的。聪明的小明只从一只盒子里取出一个砝码,放到天平上称了一下,就把所有标签都改正过来了。你知道这是为什么吗?
分析解决本题的关键是确定打开哪只盒子:若打开标有“两个1克砝码”的盒子,则该盒的真实内容是“两个2克砝码”或“一个1克砝码,一个2克砝码”,当取出的是2克砝码时,就无法对其内容作出准确判断。同样,打开标有“两个2克砝码”的盒子时,也会出现类似的情况。所以,应打开标有“一个1克砝码,一个2克砝码”的盒子。而它的真实内容应该是“两个1克砝码”或“两个2克砝码”。
(1)若取出的是1克砝码,则该盒一定装有两个1克砝码,从而标有“两个2克砝码”的盒子里,不可能是两个2克或两个1克的砝码,而只能是一个1克,一个2克的砝码了;标有“两个1克砝码”的盒子自然装有两个2克砝码。
(2)若取出的是2克砝码,同理可知,此盒装有两个2克砝
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