风筝飞行中的数学力学原理
摘要
纸花如雪满天飞，娇女秋千打四围。五罗裙风摆动，好将蝴蝶斗春归。放风筝是一项古老而有意义的娱乐活动，它的飞行也带给了人们不少遐想，激发我们探索其中的数学力学原理。
风筝上升时一个动态过程我们首先研究了让风筝上升的力学原理，风筝在空中时，空气会分为上下流层，此时通过风筝下层的空气受风筝面的阻塞，空气的流速减低，气压升高，风筝就上扬，上层的空气流通舒畅，流速增强，致使气压降低，把风筝吸扬上去。
风筝的飞行是要受到风的推力，这就让我们想到了思考风力的特征。通过空气动力学的研究，进行与飞机的类比，我们得到风筝所受风力的特征是受空气密度、升力系数、风筝的横截面积、风速的影响。并通过拟合得到了升力曲线。发现在随着迎角的增大，升力系数越大，但达到一定程度后，升力系数趋于常数。
之后，我们对风筝和风筝线分别进行了受力分析，研究其平衡状态时的受力，认为风筝在平衡时水平方向为匀加速运动，经过分析，得到了高度和风筝的受风角度之间的函数关系，更加受力图动态分析，发现存在最大高度，使得如果继续放线，而几乎不改变风筝的高度，只是在水平距离上越来越远，并且当受风角度趋于水平时风筝达到了最大高度，我们通过极限求解得到了最大高度h。
风筝的稳定不仅仅是质心运动的稳定，还有运动方向的稳定。所以我们又考虑了力矩平衡，对风筝的稳定状态做进一步的分析。发现风筝受力的作用点的变化规律为迎角增加时升力增量的作用点。
关键词：风筝飞行受力平衡升力系数参数检验
一、问题重述
风筝是我国最古老的一种民间艺术，是深受大家喜欢的娱乐活动之一。在风筝展翅于蓝天之上时，激发我们思考风筝飞行的原理，探索其中的奥秘。
随着线放出的越来越长，线的自身重量的加大会使得风筝为了保持平衡而改变其受风角度，线的重量和受风角度有着明显的关系，这使得我们思考其关系并探索是否存在一个最大的高度（或线长），使得如果继续放线，而几乎不改变风筝的高度，只是在水平距离上越来越远。
二、问题分析
风筝受到风的推动才能飞起来，而物体的运动改变我们主要想通过考察风筝其瞬时的平衡状态下的受力情况和力矩情况，寻风筝的受风角度与线长的关系。
首先，我们研究风筝上升的原理，再假定每一个瞬时其竖直方向都处于平衡状态，通过对风筝和风筝线
的受力分析，以及通过空气动力学理论得到风力的表达式，最终得到拉力与受风角度以及线与水平方向夹角的关系，根据线性模型处理参数，将该函数关系具体化，来推导是否存在一个最大的高度，使若继续放线，风筝的高度几乎保持不变，而只是在水平方向上越走越远。
三、模型假设
1.假定风筝在各个时刻都在竖直方向近似处于平衡态。
2.假定风速恒定。
3.假定风筝的不同形状对该问题无较大影响。
4.风筝与线之间无摩擦力。
5.忽略风筝速度对空气压力的影响。
6.假定重力加速度不随高度变化。
7.风筝在达到稳定状态后水平方向为匀加速运动
8.升力系数为常数
四、符号说明
空气总动力
绳对风筝的拉力
空气动力与竖直线的夹角
线与水平线的夹角
空气密度
风筝横截面积
风速
人的拉力
风筝的质量
风筝线的质量
升力系数
迎角
五、模型的建立与求解
风筝上升的原理
风筝有各种各样的美丽形状，经过研究发现，虽然风筝的形状对风筝的受力和力矩平衡有影响，但各类风筝的上升原理都是不变的，我们以平板状的方形风筝为例进行研究。风筝升空，主要是靠风的推力升扬于空中。风筝的重量会使它往地面降落，之所以可以在空中漂浮飞翔，是受空气的力量支撑向上，这种力量称为扬力。风筝在空中时，空气会分为上下流层，此时通过风筝下层的空气受风筝面的阻塞，空气的流速减低，气压升高，风筝就上扬，上层的空气流通舒畅，流速增强，致使气压降低，把风筝吸扬上去，扬力即是由这种气压之差才产生的。风筝除受空气的扬力之外，同时亦受到空气往下压的压力，此压力称之为抗力，若抗力小于扬力时，风筝才能飞翔于空中所以风筝提线的角度若放置下方时，抗力增强，风筝只会往远处飞扬，若放置上方时，扬力增强，抗力减少，风筝才会往高处飘翔。
图2是平板状的方形风筝在空中稳定时的受力示意图。风吹在风筝表面上，产生一个垂直于风筝面的力，这个力可以分解为水平方向的分力F
2
和竖直方
向的分力F
1。F
2
的作用是使风筝远离，F
1
即为扬力，同理，风筝线的拉力T也可
以分解为水平和竖直两个分力、。G为风筝的重力。当风速较大时，力F
较大，竖直方向满足F 1＞+G 风筝上升。此时应该将风筝线放出，使水平方向
满足F 2＞T 1，风筝远离。风筝上升到一定高度和距离，风筝线重力大大增加，使
得拉力风筝的做法
大大增加，而且风筝和竖直方向的角度减小，使得分力T 2大大增加，
当达到F 1-
-G ＝0时风筝就不再上升，而是稳定在空中。风筝刚放飞时，地面
附近风速常常较小，往往需要人为助跑来加大空气动力F 以满足上升的条件，这里应用了相对运动的原理。
风筝平衡的原理 受力平衡的分析
当风筝飞行一段时间后，随着风力影响下风筝飞行角度的变化，风筝的风行有逐渐趋向平衡的趋势。下面想就这一趋势进行数学力学原理上的研究。
首先我们，在风筝平衡时，其在竖直方向的加速度为0，
根据牛顿第二定律：
（1）
图 1风筝线的受力
图 2风筝的受力
对风筝线进行受力分析
因为风筝与风筝线在本过程中为整体的，他们的加速度相等，所以
将（1）（2）方程组解出得到
将a 代人后，可得
空中飞行的风筝是不动的，而空气以同样的速度流过风筝。
图 3
我们把风筝飞行速度在参考平面上的投影与水平线之间的夹角，称为迎角，用表示。类比于飞机的机翼进行分析，由上图可知，机翼的压强分布与迎角有关。在迎角为零时，上下表面虽然都受到吸力，但总的空气动力合力
并不等
于零。随着迎角的增加，上表面吸力逐渐变大，下表面由吸力变为压力，于是空气动力合力
迅速上升，与此同时，翼型上表面后缘的涡流区也逐渐扩大。在
一定迎角范围内，
是随着迎角
的增加而上升的。但当
大到某一程度，再
增加迎角，升力不但不增加反而迅速下降，这种现象我们叫做“失速”。失速对应的迎角就叫做“临界迎角”或“失速迎角”
将其类比于风筝，我们可以认为由于随的变化而变化，它在垂直于迎
面气流方向上的分力
也随
的变化而
（2）
（3）
（4） （5）