作者简介：江婧(1995-)，女，汉族，四川眉山人，硕士，中国民用航空飞行学院教师，助教，研究方向：最优化理论与算法㊁凸分析㊂课程思政的教学探索
以微分中值定理与定积分中值定理的关系为例
江㊀婧
(中国民用航空飞行学院理学院，四川广汉618307)
摘㊀要：微积分学是高等数学的重要内容之一，其中微分中值定理和定积分中值定理是微积分学的两个重
要定理，它们用不同的方法研究函数的性质㊂本文通过研究微积分中值定理的关系，帮助学生理解微分与积分的思想，掌握两个定理的含义；通过本课程的学习帮助培养学生的思维和能力，培养学生的爱国主义情怀，使学生树立正确的人生观和价值观㊂
关键词：微分中值定理；定积分中值定理；牛顿 莱布尼茨公式；课程思政
中图分类号:G4㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀doi:10.19311/jki.1672-3198.2023.08.076
1㊀高等数学课程思政的实施背景
习近平总书记在全国高校思想政治工作会议中指出，要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全程，实现全程育人㊁全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面㊂高等教育作为社会发展进步的重要依靠和重要源泉，应该将思想政治教育深入各个环节，使思想政治课程和专业课程通向同行，形成协同效应，为社会培养有用之才㊂
高等数学作为这理工类大学生的必修课程，存在教学时数长㊁内容高度抽象㊁知识体量大等特点㊂长期以来的传统教学模式使大部分老师在讲授知识时只重视理论知识的讲解，并没有将理论知识与实际问题紧密结合起来，使课堂教学既没有新意又没有活力㊂而将思想政治教育融入大学课程的思想启蒙得较晚，大部分老师将思想政治课程和专业课程看成完全独立的两门课程的思想已根深蒂固，使得要将思想政治教育融入专业课程难度较大㊂
思想政治教育如何融入专业课程?怎样融入?是当今的大学课程应该思考的问题㊂对于高等数学这门课程来说，我们应该看到其中蕴含了丰富的数学文化㊁唯物主义和自然辩证法的思想㊂数学课程不应只讲授复杂的数学公式和定理证明，应该发掘每个知识点背后的课程思政元素，针对不同的知识点寻可以融入思政元素的契合点，让数学课程不再枯燥死板㊂作为基础课程也可以丰富精彩，发挥教师在教书过程中育人的工作，真正做到 立德树人 的根本任务㊂
2㊀微积分中值定理与定积分中值定理关系的教学设计
微分和积分作为研究函数性质的重要工具，以极
限思想为基础，以研究函数为目标㊂本文以微分中值定理与定积分中值定理的关系为例，探索如何将课程思政元素融入课程教学中，做到将思政教育导向与专业知识技能相融合㊂
微分中值定理和定积分中值定理是微积分的两个基础定理，由于两个定理涉及不同章节的知识点，学生容易将两个定理产生混淆㊂因此理解两个定理并掌握两个定理的关系，首先需要引导学生回忆两个定理及相关的概念㊂
(微分中值定理)如果函数F (x )满足在闭区间a ,b []上连续；在开区间(a ,b )内可导，则在开区间(a ,b )内至少存在一点ξ，使
F (b )-F (a )=Fᶄ(ξ)(b -a ).
(定积分中值定理)如果函数f (x )在闭区间a ,b []上连续，则在开区间(a ,b )内至少存在一点ξ，使
ʏb a f (x )d x =f (ξ)(b -a ).
(牛顿-莱布尼茨公式)如果函数F (x )是连续函数f (x )在区间a ,b []上的一个原函数，那么ʏb a
f (x )d x =F (b )-F (a ).
(积分上限函数的性质)如果函数f (x )在区间a ,b []上连续，那么积分上限函数
Φ(x )=
ʏx a
f (t )d t
在a ,b []上可导，并且它的导数
Φᶄ(x )=d d x ʏ
x
a
f (t )d t =f (x )㊀(a ɤx ɤb ).
(原函数存在定理)如果函数f (x )在区间a ,b []上连续，那么函数
Φ(x )=
ʏx a
f (t )d t
㊃
032㊃
是f (x )在区间a ,b []上的一个原函数㊂
高等数学作为微积分学和几何学交叉内容形成的一门学科，几何学思想是研究微积分学的常用方法，因此针对抽象函数可以采用数形结合的思想研究㊂首先引导学生分析两个公式的几何意义，从几何学的角度区分两个定理㊂
微分中值定理公式通过变形可得Fᶄ(ξ)=F (b )-F (a )
b -a
.由函数在一点处导数定义的几何意
义可知上述公式表示在开区间(a ,b )内至少存在一点ξ，使得函数F (x )在ξ点处切线的斜率Fᶄ(ξ)一定等于
连接(a ,F (a ))㊁(b ,F (b ))两点的弦的斜率㊂
积分中值定理公式通过变形可得f (ξ)=ʏb
a
f (x )d x
b -a .由定积分的几何意义知ʏ
b
广汉飞行学院招生a
f (x )d x 表示以b
-a 为底边长,f (x )为曲边的曲边梯形的面积㊂因此上述公式表示在开区间(a ,b )内至少存在一点ξ，使得f (ξ)一定等于曲边梯形的平均高度㊂
两个公式在几何上都是非常直观的：一个公式表示两点弦的斜率，另一个公式表示曲边梯形的平均高度，通过几何分析可以帮助学生记忆两个定理的结论㊂但两个定理的关系没有通过几何图形展现出来㊂
高等数学是一门应用性非常强的学科，在直接分析不可行的前提下，接下来可引导学生将定理代入实际问题来考虑㊂
假设某物体做直线运动，速度f =f (x )是时间间隔a ,b []上的连续函数,x 时刻物体所在位置为
F (x )，速度为f (x )且f (x )⩾0，求物体在a 到b 时间内的平均速度.
首先提问学生：在学习了定积分后，变速直线运动的总路程有几种表示方式?通过定积分的学习可知，总路程有两种表示方式，因此，此问题有两种求解方法㊂
解法一：由于物体在某一时间段的平均速度=总路程/总时间，并且假设物体在a 到b 时间内的速度总是非负,F (b )-F (a )可表示物体走过的总路程,
此时F (b )-F (a )b -a
表示物体在a 到b 时间内的平均
速度㊂
解法二：由于f (x )表示物体在x 时刻的速度，由定积分的定义，物体在a 到b 时间内走过的总路程可用
ʏb a
f (x )d x 表示，此时
ʏb a
f (x )d x
b -a
表示物体在a 到b
时间内的平均速度㊂
通过将公式代入实际问题发现用微分中值定理和定积分中值定理的公式都可以表示物体在a 到b 时间内平均速度，即在一定条件下，两个定理的公式
是可以互相推导的㊂
但变速直线运动问题让我们看到一个前提：两个定理结论在f (x )是a ,b []上的连续函数的前提下才具有等价性，不能忽略此前提直接得出结论，需要我们对两个定理的条件进行分析㊂
微分中值定理条件：函数F (x )在闭区间a ,b []上连续；在开区间(a ,b )内可导㊂
定积分中值定理条件：函数f (x )在闭区间a ,b []上连续㊂
由上述实际问题可知，将微分中值定理中的函数F (x )看成定积分中值定理中函数f (x )的原函数时，两个定理的结论才可能互相推导，且定积分中值定理的条件要强于微分中值定理的条件㊂
因此得出两个定理条件之间的关系：定积分中值定理条件可推出微分中值定理条件，但反之不成立㊂
为了回顾原函数存在定理和积分上限函数的性质，加深对定理条件的掌握，可引导学生对两定理的条件进行简单的推导证明㊂
证：设函数f (x )在闭区间a ,b []上连续，由原函数存在定理,f (x )在区间a ,b []上的原函数一定存在，记为F (x )，且设在区间a ,b []上F (x )=
ʏx
a
f (t )d t .由原函数的性质，函数F (x )在闭区间
a ,
b []
上可导，再由一元函数可导性与连续性的关系，函数F (x )在闭区间a ,b []上连续；因此函数F (x )在闭区间a ,b []上连续；在开区间(a ,b )内可导.故可推出微分中值定理的条件㊂
在搞清楚两个定理条件之间的关系后，便可得到两个定理之间的关系㊂即加强微分中值定理条件:Fᶄ(x )在a ,b []上连续㊂此时微分中值定理和定积分中值定理的结论可以互相推导㊂此时定积分中值定理可以理解成微分中值定理的积分表达形式，若F (x )是f (x )在a ,b []上的一个原函数，两个定理的关系如下图1所示
㊂
图1 两个定理的关系
微积分中值定理和定积分中值定理作为微积分学的重要定理，以微分和积分的思想研究函数㊂由于微积分思想在初高中很少接触，对初学者来说掌握起来有一定难度，若只对两个定理的关系进行理论推导，难度性较高㊁理论性太强㊂因此本课程引导学生建立不同学科的联系㊁将定理结论与实际问题相结合，发掘定理的初衷㊁价值和意义，将思想政治工作贯穿整个教学过程㊂
㊃
132㊃
3㊀微积分中值定理所蕴含的思政元素(1)理论联系实际的知行观㊂由于定理具有高度抽象性，对于初学微积分的学生来说，记忆和使用两个定理并不困难，但将两个定理联系起来，加以理解和区分，真正做到融会贯通却并非易事㊂因此，在教学过程中，应采用数形结合的教学思想，将两个定理所得公式在几何图形中表示，化抽象为具体，引导学生理解和掌握两个定理的几何含义，从而提高学习效率㊂在教学环节，要避免学生对理论知识的死记硬背，这是因为当记忆变成一种学习任务，定理本身的价值和意义就会被弱化和忽视，从而影响学生学习的主观能动性，进而降低学生的学习动力㊂因此，在教学实践中，
要注重运用现实案例和公式定理相结合，培养学生理论联系实际的知行观，采用应用实例 变速直线运动问题，并辅以表达物体平均速度的两种方式，从而得到在一定假设条件下两个定理等价的结论㊂
(2)谦虚严谨的治学态度㊂变速直线运动问题，能够较好地化抽象为具体，引导学生自行推导得出定理等价的结论㊂但在教学实践中发现，这种推导容易忽略两个定理假设条件不同的前提㊂因此，通过实际问题研究定理等价的前置条件，可以有目的地培养学生严谨治学的求学态度㊂谦虚严谨，作为中华民族的优良品质，不仅对当下大学学习生涯大有裨益，更能在今后的生活中让人受益终生㊂高校课堂，作为素质教育的主阵地，就是要通过学生的品格塑造，促进学生德智体美劳全面发展，营造健康和谐的学习氛围，为党育人，为国育才㊂
(3)独立创新的思考能力㊂专业发展史是课程思政的重要组成部分㊂牛顿和莱布尼茨作为微积分学的奠基人，为微积分的发展做出了巨大贡献㊂牛顿在解决如何根据物体的速度求解物体的位移这一问题时，在工作总结‘流数简论“中提出了微积分基本定理㊂而莱布尼茨是在研究巴罗的 微分三角形 时，在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理㊂纵观微积分的发展史，我们知道，科技创新和学术发展离不开独立思考㊂因此，在素质教育中，培养学生的科学思维和创新思考能力尤为重要㊂正如习近平总书记在二十大报告中指出，必须坚持创新是第一动力，深入实施科教兴国战略㊁人才强国战略㊁创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势㊂遇到问题我们不要拿别人的方案生搬硬套，应该善于思考，提出自己的解决方案，只有这样我们才能在日益复杂的国际竞争环境中掌握核心竞争力，发挥
出自己的优势㊂
(4)自信自强的文化认同㊂早在古代中国，积分学思想就已经萌芽㊂三国时期的数学家刘徽发明了 割圆术 , 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣 本质上是对极限思想的透彻阐述；南朝数学家祖暅提出 幂势即同，则积不容异 和 出入互补原理 ，比西方提出的 卡列瓦里原理 早1100多年㊂刘徽和祖暅，他们为中国数学史作出了极大的贡献，为中国留下了宝贵的数学遗产㊂传统文化，一直是课程思政的重要构成，更是二十大报告提出建设 文化自信自强 的重要组成部分㊂因此，在教学实践中，要注重通过弘扬优秀传统文化，通过讲述优秀的传统文化故事，树立学生的民族自豪感，增强文化自信㊂
4㊀结束语
本文在了解高等数学课程思政实施背景的前提下，以微分中值定理与定积分中值定理的关系为例，挖掘课程思政融入专业课程的切入点，将政治认同㊁文化自信㊁人格养成等思想政治教育导向与专业课程固有的知识㊁技能传授有机融合起来，实现显性教育与隐性教育的有机结合，使高等数学课程与思想政治理论课同向同行，实现协同育人的目的㊂通过本课程的学习帮助学生理解掌握两个定理的关系，培养学生树立正确的人生观㊁思想观和价值观，弘扬和创新中国的传统文化，促进学生的自由全面发展，充分发挥教育教书育人的作用㊂
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