作者：孙涛 易如跃
来源：《新课程·中学》2017年第11期
摘 要：恒成立问题与存在性问题是近几年高考热点之一，常出现于函数、不等式等问题中.主要探讨了当恒成立问题和存在性问题出现在同一函数或不同函数时，孰先孰后如何解决等问题，旨在为以后解题提供一种思路.
关键词：恒成立问题；存在性问题；最值；不等式
孙涛 恒成立思想与存在性思想在近几年高考数学中屡见不鲜，其分值一般较高.当其单一出现于一个题中时，解题较方便，在相关论文[1][2]中已有所介绍.但当两个问题同时出现于同一函数或不等式时，先考虑恒成立问题还是先考虑存在性问题，还是同时考虑？这要根据具体问题的复杂性适时作出决定.
恒成立问题和存在性问题已经研究的很详细了，其方法也相对成熟了.本文将从几道题入手来探究同一函数或不同函数同时出现恒成立问题或存在性问题时，孰先考虑孰后考虑等问题.旨在总结一种方法提供一种思路.所涉及的主题思想如下：
（1）？坌x1∈[a，b]，？坌x2∈[c，d]，若f（x1）>g（x2）恒成立，则f（x）min>g（x）max.
（2）？坌x1∈[a，b]，？埚x2∈[c，d]，若f（x1）>g（x2）恒成立，则f（x）min>g（x）min.
（3）？埚x1∈[a，b]，？埚x2∈[c，d]，若f（x1）>g（x2）恒成立，则f（x）max>g（x）min.
例题1：已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R.如对？坌b∈[-2，-1]，？埚x∈（1，e），使得f（x）
分析：本题既有？坌b∈[-2，-1]，？埚x∈（1，e），使得f（x）
解：令g（b）=ax2+bx-lnx，？坌b∈[-2，-1]，都有g（b）
对？坌b∈[-2，-1]，？埚x∈（1，e），使得ax2+bx-lnx
g（-1）
即a
∵x∈（1，e），∴h′（x）
练习1：
已知函数f（x）=lnx，对？坌a∈[-1，0），若不等式f（x）
例题2：已知函数f（x）=x3-ex2+mx+1，（m∈R），g（x）=.
（1）求函数f（x）的单调区间.
（2）对任意的两个正实数x1，x2，若g（x1）
分析：本题主要探究不同函数之间的恒成立问题，针对此题可以根据恒成立思想，分别考虑各自函数的最值，来解决问题.
解：
（1）略
（2）对任意的两个正实数x1，x2，若g（x1）
解析：f′（x）=x2-2ex+m是开口向上的二次函数，在对称轴x=e处取得最小值.
f′（x）min=f′（e）=m-e2，∵x∈（0，+∞），g′（x）=，令g′（x）=0，∴x=e，g（x）在（0，e）上为
增函数，在（e，+∞）上为减函数，∴g（x）max=
g（e）=，故有m-e2>，∴m>e2+.
练习2：已知函数f（x）=+lnx，g（x）=x3-x2-3.
（1）讨论函数f（x）的单调性.
（2）如果对于？坌x1，x2∈[，2]，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，试求a的取值范围.
本文通过两个例题的精讲以及两个练习的精练，一是研究了恒成立问题和存在性问题在同一函数和不同函数中孰先孰后问题，二是巩固了对文章中知识，思想的实际效果的检测.总之，本文给以后解决此类问题指明了方向，提供了思路.
参考文献：
[1]孙涛，易如跃.浅谈高中数学变量分离法的应用及一题多解[J].读写算，2011（51）.
[2]易如跃，孙涛.浅谈恒成立思想的推广[J].中学生数理化（学习研究），2016（3）.
作者简介：孙涛，男，汉族，皖合肥，研究生，中学二级教师，研究方向：恒成立问题与存在性问题；
易如跃，女，汉族，鲁济宁，研究生，中学二级教师，研究方向：恒成立问题与存在性问题。
？誗编辑 谢尾合
发布评论