2020年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 在等比数列{}n a 中，9
13
13,1a a ，则1log 13a 的值为        ．
答案：1
3
金俊勉．
解：由等比数列的性质知2
1
99
13
a
a a a ，故3391
213
13a a a ．所以11log 13
3
a ． 2. 在椭圆中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，12,F F 为两个焦点．若12
12
0AF AF BF BF ，则
12
AB
F F 的值为
． 答案
：
2
． 解：不妨设的方程为2
22
2
1(0)x y a b
a b ，(,0),(0,)A a B b ，1(,0)F c ，
2(,0)F c ，其中22c
a b ．由条件知
22222
12
12
()()
()20AF AF BF BF c a c a c b a b c ．
所以
22212
22222
AB a b c F F c
c
． 3. 设0a
，函数100
()
f x x
x
在区间(0,]a 上的最小值为1m ，在区间[,
)
a 上的最小值为2m ．若122020m m ，则a 的值为        ．
丧尸片排行榜前十名电影答案：1或100． 解：注意到()f x 在(0,10]上单调减，在[10,)上单调增．当(0,10]a 时，
12(),(10)m f a m f ；当[10,)a 时，1
2(10),()m f m f a ．因此总有
12
()(10)
2020f a f m m ，
即100202010120
a
a
，解得1a
或100a ．
4. 设z 为复数．若2
i
z z 为实数（i 为虚数单位），则3z 的最小值
为        ．
答案． 解法1：设i(,)R z a
b a b ，由条件知
22
2
2
2(2)i
(2)(1)22Im Im
0i (1)i (1)(1)z a b a b ab a b z a b a b a b ，
故22a b ．从而
2
22
23
(12)((3))
(3)
25z
a
b a
b
，
即35z
．当2,2a b 时，3z 取到最小值
解法2：由
2
i
R z z 及复数除法的几何意义，可知复平面中z 所对应的点在2与i 所对应的点的连线上（i 所对应的点除外），故3z 的最小值即为平面直
角坐标系xOy 中的点(3,0)到直线220x
y 2
2
3252
．
5. 在ABC 中，6,4AB BC ，边AC 上的中线长为，则
66sin cos 22
A A 的值为        ．
答案：211
256
．
解：记M 为AC 的中点，由中线长公式得
222242()BM AC AB BC ， 可得222(64)410
8AC
．
由余弦定理得2
222228647
cos 22868
CA AB BC A CA AB ，所以
66224224
sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222
A A A A A A A A
山区支教= 2
2
222sin cos 3sin cos 2222A A A A
231sin 4A
213211
cos 44256
A
．    6. 正三棱锥P ABC 的所有棱长均为1，,,L M N 分别为棱,,PA PB PC 的中点，则该正三棱锥的外接球被平面LMN 所截的截面面积为        ．
答案：
3
． 解：由条件知平面LMN 与平面ABC 平行，且点P 到平面,LMN ABC 的距离之比为1:2．设H 为正三棱锥P ABC 的面ABC 的中心， PH 与平面LMN 交于
点K ，则PH 平面ABC ，PK 平面LMN ，故1
2
PK PH ．
正三棱锥P ABC 可视为正四面体，设O 为其中心（即外接球球心），则O
在PH 上，且由正四面体的性质知14OH PH ．结合1
2
PK PH 可知OK OH ，
即点O 到平面,LMN ABC 等距．这表明正三棱锥的外接球被平面,LMN ABC 所截得的截面圆大小相等．
从而所求截面的面积等于ABC 的外接圆面积，即2
3
3
AB ．
7. 设,0a b
，满足：关于x 的方程||||x x a b 恰有三个不同的实数
解123,,x x x ，且123x x x b ，则a b 的值为        ．
答案：144． 解：令2a
t x
，则关于t 2
2
a a t
t
b 恰有三个不同的实数
解(1,2,3)2
i
轿车品牌i
a t x i ．
由于()2
2
a a
f t t
t
为偶函数，故方程()f t b 的三个实数解关于
数轴原点对称分布，从而必有(0)2b
f a ．
以下求方程()2f t a 的实数解．
当2a
t
时，22()4222
a a f t t t a a t a ，等号成立当且仅当0t ；当2
a
t 时，()f t 单调增，且当58a t 时()2f t a ；当2a t
时，()f t 单调减，且当58
a
t 时()2f t a ．
从而方程()2f t a 恰有三个实数解1
2355
,0,88
t a t t a ． 由条件知3328
a a
b x t ，结合2b
a 得128a ． 于是91448
a
a b ．
8. 现有10张卡片，每张卡片上写有1,2,3,4,5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将这10张卡片放入标号为1,2,3,4,5的五个盒子中，规定写有,i j 的卡片只能放在i 号或j 号盒子中．一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则“好的”放法共有      种．
答案：120．
解：用{,}i j 表示写有,i j 的卡片．易知这10张卡片恰为{,}i j (15)i j ． 考虑“好的”卡片放法．五个盒子一共放有10张卡片，故1号盒至少有3张卡片．能放入1号盒的卡片仅有{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}．
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情况一：这4张卡片都在1号盒中，此时其余每个盒中已经不可能达到4张卡片，故剩下6张卡片无论怎样放都符合要求，有6264种好的放法．
情况二：这4张卡片恰有3张在1号盒中，且其余每盒最多仅有2张卡片． 考虑{1,2},{1,3},{1,4}在1号盒，且{1,5}在5号盒的放法数N ．
卡片{2,3},{2,4},{3,4}的放法有8种可能，其中6种是在2,3,4号的某个盒中放两张，其余2种则是在2,3,4号盒中各放一张．
若{2,3},{2,4},{3,4}有两张在一个盒中，不妨设{2,3},{2,4}在2号盒，则
{2,5}只能在5号盒，这样5号盒已有{1,5},{2,5}，故{3,5},{4,5}分别在3号与4号盒，即{2,5},{3,5},{4,5}的放法唯一；
若{2,3},{2,4},{3,4}在2,3,4号盒中各一张，则2,3,4号盒均至多有2张卡片，仅需再使5号盒中不超过2张卡片，即{2,5},{3,5},{4,5}有0张或1张在5号盒
中，对应0
133
C C 4种放法． 因此612414N ．由对称性，在情况二下有456N 种好的放法． 综上，好的放法共有6456120种．
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9.（本题满分16分） 在ABC 中，2
sin 2
A ．求cos 2cos
B
C 的取值
范围．
解：记cos 2cos f
B
C ． 由条件知4A 或3
4A ．                      …………………4分
当4A 时，34B C ，其中3
04
C
，此时 3
cos 2cos 4f C C 22sin cos 22C C sin (0,1]4
C ．                                                  …………………8分
当3
4A 时，4B C ，其中04
C
，此时 cos 2cos 4
f C C 232sin cos 22C C 5sin()C ， 其中
arctan 3．                                  …………………12分 注意到
4
2
，，函数()
5sin ()g x x 在0,
2
上单调增，在
,
24
上单调减，又32
(0)
2
2
4g g
，52
g
，故(2,5]f
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．
综上所述，cos 2cos f B
C 的取值范围是(0,1](2,5]．
…………………16分
10. （本题满分20分）对正整数n 及实数(0)x x n ，定义
[][]1(,)(1{})C {}C x x n n f n x x x ，
其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，{}[]x x x ．若整数,2m n 满足
121,,,123mn f m f m f m n n n
，
求121
,,,mn f n f n f n m m m 的值． 解：对0,1,,1k m ，有
1
11
11
111
1,C 1+C C C 2n n n k k k k m m m m
i i i i i i n f m k n n n ．                                                  …………………5分 所以
121,,,mn f m f m f m n n
n 111
101
C ,m m n j
m j k i i f m k
n
111
00122C C 2m m m
k k m m k k n
1222121(21)12
m m
m m n n ．
……………10分 同理得121
,
,,mn f n f n f n m m m
(21)1n m ． 由条件知(21)1123m n ，即(21)124m n ，故(21)124m ．又2m ，
所以21{3,7,15,31,63,127,
}m ，仅当5m 时，21
31m 为124的约数，进
而有124
431
n ．进而
121
,,
,
mn f n f n f n m m
m
4(21)51
74．
…………………20分
11. （本题满分20分）在平面直角坐标系中，点,,A B C 在双曲线1xy 上，满足ABC 为等腰直角三角形．求ABC 的面积的最小值．
解：不妨设等腰直角ABC 的顶点,,A B C 逆时针排列，A 为直角顶点．
设(,)AB
s t ，则(,)AC
t s ，且ABC 的面积
2
2
212
2
ABC
s t S
AB ．    …………………5分
注意到A 在双曲线1xy
上，设1
,A a a
，
则11
,,,B a s t C a t s a a
．
由,B C 在双曲线1xy 上，可知
11
()()1a s t a t s a a
，
这等价于
s
at st a ，        ① t
as st a
．
②
由①、②相加，得()0s t
a t
s a
，即