2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<，则A B = （
）．A.{1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1,2}- D.{1,2}2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（）．
A.12i +
B.2i
-+ C.12i
- D.2i
--
3.在52)-的展开式中，2x 的系数为（
）．
A.5
- B.5
C.10
- D.10
4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．
A.6+
B.6+
张馨予 吴卓羲C.12+
D.12+5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．
A.4
B.5
C.6
D.7
6.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．
A.(1,1)
- B.(,1)(1,)
-∞-+∞ C.(0,1)
D.(,0)(1,)
-∞+∞ 7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．
A.经过点O
B.经过点P
C.平行于直线OP
D.垂直于直线OP
8.在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （
）．
A.有最大项，有最小项
B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项
作文猜猜他是谁D.无最大项，无最小项
9.已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周
长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（
）．
A.30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫
+ ⎪⎝⎭ B.30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫
+ ⎪⎝⎭C.60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭
D.60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.
11.函数1
()ln 1
f x x x =
++的定义域是____________．12.已知双曲线22
:163
x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的
距离是_________．
13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2
AP AB AC =+ ，则||PD =
_________；
PB PD ⋅=
_________．
14.若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．
15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()
f b f a b a
--
-的大
小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：①在
[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．
三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．
（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；
最亲的敌人（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．企业所得税的税务筹划
17.在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：
（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．
条件①：17,cos 7c A ==-
；条件②：19cos ,cos 816
A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
男生女生
支持
不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二
350人
250人
150人
250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结
论不要求证明）
19.已知函数2()12f x x =-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；
（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求
()S t 的最小值．
20.已知椭圆22
22:1x y C a b
+=过点(2,1)A --，且2a b =．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程：
快乐大本营陈伟霆（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点
,P Q ．求
||
||
PB BQ 的值．21.已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：
①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2
i m j
a a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2
k n l
a a a =．
(Ⅰ)若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若1
2
(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.
参考答案
一、选择题.1.【答案】D
【解析】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选D.2.【答案】B
【解析】由题意得12z i =+，∴2iz i =-.故选B.3.【答案】C
【解析】
)
5
2-展开式的通项公式为()
()552
15
5
22r r
r
r
r r r T C
C x
--+=-=-，
令
522
r -=可得1r =，则2x 的系数为()()11
522510C -=-⨯=-.故选C.4.【答案】D
【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三
角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：
()1
322222sin 60122S ⎛⎫
=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭
D.
5.【答案】A
【解析】设圆心(),C x y 1=，
化简得()()2
2
341x y -+-=，∴圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心,1为半径的圆，
∴||1||OC OM +≥5==，∴||514OC ≥-=，
当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选A.
6.【答案】D
【解析】∵()21x
f x x =--，
∴()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <；或1x >.∴不等式()0f x >的解集为()(),01,-∞+∞ .
故选D.
温柔 歌词7.【答案】B
【解析】如图所示，
线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.
8.【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差5119
25151
a a d --+=
==--，
发布评论