绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新高考I 卷)
(适用地区：山东)
后舍男孩
数  学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B = A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4} 2．
2i
12i
−=+ A ．1 B ．−1 C ．i  D ．−i
3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种
4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为
A ．20°
B ．40°
C ．50°
D ．90°
5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46% D ．42%
6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt
I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估
计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)  A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天      D ．3.5天 7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6−    B ．()6,2−  C ．()2,4−
D ．()4,6−
8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),−∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x −≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,−+∞  B ．3,1][,[01]−−    C ．[)1,0][1,−+∞  D ．1,0]3][[1,−
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9．已知曲线2
2
:1C mx ny +=.
A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B ．若m =n >0，则
王子文多大C 是圆，其半径为n
C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为m y x n
=±− D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线
10．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=
A ．πsin(3x +）
B ．πsin(2)3x −
C ．πcos(26x +）
D ．5π
cos(2)6
x −
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11．已知a >0，b >0，且a +b =1，则
A ．2212
a b +≥
B ．122
a b −>
C ．22log log 2a b +≥−
D ．2a b +≤
12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,
,n ，且
1
()0(1,2,
,
),1n
i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21
()log n
i i i H X p p ==−∑.
A ．若n =1，则H (X )=0
B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大
C ．若1
(1,2,,)i p i n n
=
=，则H (X )随着n 的增大而增大
D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,
,
)j m j P Y j p p j m +−==+=，
则H (X )≤H (Y ) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．
14．将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．
15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，
A 是圆弧A
B 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线B
C 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为
韩国最好用的化妆品C ，tan ∠ODC =
3
5
，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．
16．已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）
在①3ac =，②sin 3c A =，③3c b =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B =，6
C π
=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）
已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：
2SO  PM 2.5
[0,50] (50,150] (150,475]
[0,35]
32 18 4 (35,75] 6 8 12 (75,115]
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：
2SO  PM 2.5 [0,150] (150,475]
[0,75]师兄个个都好坏
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d −=++++，
2()P K k ≥
0.050      0.010      0.001 k
3.841      6.635      10.828
20．（12分）
如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ． （1）证明：l ⊥平面PDC ；
（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．
21．（12分）
已知函数1()e ln ln x f x a x a −=−+．
（1）当e a =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．
已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的离心率为
2
2
接吻门，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．