绝密☆启用前  试卷类型：A
2022年普通高等学校招生全国统一考试
数学
小寒节气的含义本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合{4},
{31}M x N x x =<=≥∣，则M N = （    ）A. {}02
x x ≤<  B. 123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭  C. {}316x x ≤<  D. 1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】1{16},{}3M x
x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭
，故选：D 2. 若i(1)1z -=，则z z +=（    ）
A. 2
-  B. 1-  C. 1  D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.
【详解】由题设有2
1i 1i i i z -=
==-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D 3. 在ABC V 中，点D 在边AB 上，2BD
DA =．记CA m CD n ==          ，，则CB    =（    ）A. 32m n
-    B. 23m n -+    C. 32m n +    D. 23m n +
【答案】B
【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =        ，即()
2CD CB CA CD -=-                ，所以CB    =3232CD CA n m -=-          23m n =-+  ．
故选：B ．
4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，增加的水量约
2.65≈）（    ）
A. 93
1.010m ⨯  B. 931.210m ⨯  C. 931.410m ⨯  D. 931.610m ⨯【答案】C
【解析】
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，
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∴((66119140101801033V h S S =++=⨯⨯⨯+⨯'(()
679933320109618  2.6510  1.43710  1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．
故选：C ．
5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ）A. 1
6  B. 1
3  C. 1
2  D. 2
3
【答案】D
【解析】
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213
P -=
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=.故选：D.6. 记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛
⎫=++> ⎪⎝⎭最小正周期为T ．若23
T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（    ）A. 1  B. 32  C. 52  D. 3空调内机漏水出来是怎么回事
【答案】A
【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T 满足23
T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =
，的
所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 22
程书林4f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 2124
4f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A
7. 设0.110.1e ,ln 0.99a b c ==
=-，则（    ）A. a b c
<<  B. c b a <<  C. c a b <<  D. a c b
<<【答案】C
【解析】【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小.
【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x
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'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，
所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1
((0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999
>=-，即b c >，所以1((0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109
<，故a b <，
设()e ln(1)(01)x
g x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x x x g x x x x -+'=+=--，令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，
当01x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，
11x <<；时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，
又(0)0h =，
所以当01x <<
时，()0h x <，
所以当01x <<；时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，
所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c
>
故选：C.
8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤四棱锥体积的取值范围是（    ）A. 8118,4⎡⎤⎢⎥⎣
⎦  B. 2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦  C. 2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦  D. [18,27]
【答案】C
【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵ 球的体积为36π，所以球的半径3R =,
设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，
则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,
所以26h l =，222
2a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭
，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
当3l ≤≤0V '>，当l <≤时，0V '<，
所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，