12⾯魔⽅公式图解法_魔⽅与论（⼀）（不要被标题吓到，
⾼中⽣就可以看）
前⾔：受好友邀请在专栏写⼀点⽂章，最近正好因为某些原因在看魔⽅与论的数学知识，于是准备写这么⼀篇。本⼈⾮常喜欢论，论⼊门其实⾮常简单，但其本⾝⼜⾮常迷⼈。⼤⼀⼀年⾥我倒是因为机缘巧合学了不少论 ，看了A.ZEE的<Group theory in a nutshell
for physics>，《代数⽅程与置换》，《对称和》等⼀些⼩书（但其实都忘得差不多了5555）。论与数学，理论物理，化学都密切相关，⾜见其重要性。
相信很多⼈都知道魔⽅与论密切相关，但具体是怎么⼀回事可能就不太了解了。关于魔⽅的解法，据我所知很多⼈都是背公式，但我个⼈觉得如果只是看公式那么魔⽅就变成了⼀个⼿速游戏，个⼈认为这样失去了很多趣味性（很⾃豪地说我初中⾃⼰总结出了还原魔⽅的公式，后⾯每次忘记都能重新发明，于是⾄今也没有背过流⾏的公式，不过⾃⼰的公式⽐现⾏的公式复杂度⾼很多倒是真的）。
如果⼿边有⼀个魔⽅最好，如果没有，⽹上有⼀个魔⽅的模拟程序，可以⾛特定步数，⼀键还原，甚⾄可以统计⽅块的移动情况。（只不过windows 版本有些显⽰问题，因为软件⽐较⽼了，很可能不能正常使⽤）链接：Rubik Downloads
⼀、准备⼯作
我们先介绍⼀些有关魔⽅的基础信息。
魔⽅有三种不同的⽅块，分别为⾓块（8个，每个⾓块有三种颜⾊），棱块（12个，每个棱块有两种颜⾊）与中⼼块/⾯⼼（6个，每个中⼼块有⼀种颜⾊）。魔⽅总共有6个⾯，也就是6种颜⾊，每种颜⾊被分为九个⼩⾯，我们称之为facelets，也就是魔⽅总共有54个facelets。
我们操作魔⽅的时候，常常将⾯⼼的位置固定，将⼀个颜⾊的⾯⼼对准⾃⼰，同时也固定其上下左右的⾯⼼颜⾊，不再转动。于是魔⽅被分为6个⽅位，上（UP），下（DOWN），左（LEFT），右（RIGHT），前（FRONT），和后（BACK）。我们转动魔⽅时⽤字母代替操作，将该⾯对准⾃⼰后顺时针转动这个⾯90°。
取每个⾯的⾸字母代表将该⾯对准⾃⼰后顺时针转动这个⾯90°
例如，F就是将对准⾃⼰的⾯瞬时针旋转90°，R就是将右边的⾯⼼对准⾃⼰后旋转90°（注意操作中的“将该⾯对准⾃⼰”只是个假想操作，为了⽅便你了解转动魔⽅的⽅向），同理，B就是从⽬前的视⾓看，逆时针旋转离你视⾓最远的⾯⼼所在⾯90°。
那么转动两次即：
，⽽转动三次和逆时针转动⼀次效果相同，即：
，我们可以把逆时针转动⽤相应的⼩写字母表⽰。⽽转动四次等于不转。
⾮交换（⾮阿贝尔）的，例如FR≠RF，因此逆操作的顺序也要特别注意，⽐如FR的逆为rf⽽⾮fr，⾃⼰可以尝试注意魔⽅的旋转操作是⾮交换（⾮阿贝尔）
尝试。⽤字母表⽰则为：
⼆、⼀些基础知识
操作的阶（order）：
我们容易知道，对于⼀个还原的魔⽅，做任意⼀个固定的操作组合（macro），重复有限次后魔⽅必定重新被还原。那么对于这个重复的次数，我们就叫做⼀个操作的“阶”。
例如，操作F的阶为4，⽽（FFRR）的阶为6，⽽操作组（FFLLBR）的阶为90。⽤开始给出的应⽤程序可以计算某操作组的阶数。
原来的状态：
现在我们来证明任意⼀个操作组进⾏有限次后，魔⽅必定会被还原成原来的状态
我们把这个操作叫做P，重复P的次数⽤次⽅的记号表⽰。显然不进⾏任何操作即
，
这⾥1是单位元（identitiy）。
由于每重复⼀次P魔⽅的状态都会被重排⼀次，⽽魔⽅的状态数是有限的，因此在不断重排中必定存在两个相同的状态。设操作P进⾏k次后达到某状态，P进⾏m次后再次达到该状态，即
，且m是最⼩的再次达到重复状态的数字。
若k=0，那么得证。如果k≠0，那么
。⽽若我们分别对k，m次操作的魔⽅进⾏⼀次逆操作，得到
朱正廷女朋友，即
，与m是最⼩的再次达到重复状态的数字⽭盾，故k=0，因此
。
所以任意⼀个操作组进⾏有限次后，魔⽅必定会被还原成原来的状态。
由此，我们可以借助程序或者⼿动观察任意操作组的阶数。
有趣的是，操作（FFRR）的阶数为6，⽽6有因⼦2和3，⽽将操作(FFRR）重复两次或三次能获得⽐较规整的结果，但重复别的次数，⽐如五次，会获得⽐较乱的结果。同理，阶数为90的操作（FFLLBR）有因⼦45，将此操作重复45次也能获得⽐较有趣的结果。对于阶数较⾼的操作可由上⽂提到的程序实现。这⼀操作和置换的性质有关。
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什么是？
1、运算*是闭合的。也就是如果g,h是G中的两个元素，那么g*h也是G中的元素。
2、运算*符合结合律。也就是说(f*g)*h=f*(g*h)
3、G中有单位元e。也就是说e*g=g*e=g。
4、G中的每⼀个元素，对于运算*存在逆元。也就是说，任意g∈G，存在
，使得
。
以下有⼏个注意点：
1、元素不⼀定是数字或矩阵，可以是任何抽象的东西，⽐如三维空间中的旋转，某种抽象的置换等等。
2、⼆元运算*不是乘法。是某种抽象运算的意思。具体含义因⽽异。
交换（阿贝尔），3、运算*不⼀定符合交换律。也就是g*h不⼀定等于h*g。如果这个运算对于每个元素都符合交换律，那么该称为交换（阿贝尔）
⾮交换（⾮阿贝尔）。
如果该运算对于某两个元素不符合交换律，那么该称为⾮交换（⾮阿贝尔）
4、上述四条条件中，关于单位元和逆元的部分可以去掉⼀半。也就是说，只需要左单位元和左逆，的定义依然不会改变。即通过e*g=g 和
能够证得的完整定义：e*g=g*e=g与
。
留作习题，读者⾃证不难。
5、为了⽅便，我们可以省去*的记号。例如
。
6、元素可以是有限的，也可以是⽆限的。⽐如平凡只有⼀个元素，那就是单位元。有两个元素的⽐如{-1,1}配上“乘法”这个⼆元运算。⽽整数在加法下也是⼀个，其中有⽆限个元素，其单位元是0。有理数除去0在乘法下也是⼀个，其单位元是1。
四、⼀些的例⼦
⽐较简单的例⼦上⽂我已经提过了。⽐如整数在加法下形成的，±1在乘法下也构成。
⼀些别的例⼦：
exampli gratia:n次单位根在乘法下形成⼀个有n个元素的循环。
循环。记为
。⽐如{1，-1}就记为
。
克莱因四元：是两个Z2的直和：
。直和可以理解为笛卡尔积，就是将中的元素配对。因此
。那么这个的乘法的运算⽅式为分量分别按照原来的乘法计算。⽐如，
如果我们把（1,1）记为e，剩下三个元素记为a,b,c，那么这个的乘法表如下：
klein group’s cayley table
四元数Q(有⼋个元素）：{1，-1，i,j,k,-i,-j,-k}，运算法则为：
。其乘法表如下：
97年58南航空难Quaternion group’s Cayley table
正多边形的对称
：考虑正n边形，我们将所有使这个正多边形保持不变的操作作为这个的元素。⽐如正三⾓形的 ，其中就有6个元素，分别为沿正三⾓形的三条对称轴翻折，与沿正三⾓形的中⼼转动120°，240°和360°。可见
中有2n个元素。⽽
中有两个元素，即单位元和翻折，⽽
恰恰就是刚刚前⾯提过的克莱因四元。想想四元中的元素分别代表了什么操作？
旋转：如果我们把空间中的旋转作为元素，⽽运算则是旋转之间的叠加，那么我们可以获得旋转。对于⼆维空间，我们有：SO(2)也就是special orthogonal group，⼤家可以⾃⾏了解旋转矩阵。S代表矩阵的⾏列式为1， O代表正交，也就是元素正交：
。同理，对于三维空间中的旋转我们有SO(3)，不过要注意，SO(2)与SO(3)最⼤的区别就在于，SO(2)是阿贝尔，⽽SO(3)是⾮阿贝尔，就是三维空间中的旋转操作不是交换的。要注意，旋转都是⽆限。
然后是我们的主⾓：置换！魔⽅其实是⼀个置换的⼦。
五、置换
我们⾸先得了解什么是置换：
所谓置换，就是将⼀系列有顺序的元素重新排列。⽐如数字1,2,3,4我们可以将其重新排列，例如重新排列成1,3,2,4，也就是2和3换了位置。其实质是2和3换了位置，⾄于名字叫什么都是⽆关紧要的，⽆论是叫1,2,3,4还是叫A,B,C,D，只要置换的实质没变，那么这个置换就是⼀样的。
我们可以把置换表⽰成以下形式：
，当然这个置换也可以等价地表⽰为：
，或者
等等，他们都是⼀样的。
为了⽅便起见，我们的置换可以被标记成另外⼀种形式，也就是所谓的cycle notation：
我们知道，上⾯这个置换其实就是把2和3换了位置，⽽1和4位置不变。
那么我们可以把这个置换表⽰成，（1）（4）（2 3），表⽰1和4位置不变，⽽2变成3,3变成2。
我们来看下⾯这个置换：
，⽤简便的表⽰⽅法我们可以写成：（1）（2 4 3），表⽰1的位置不动，2变成4， 紧接着4变成3，最后3变成2。为了简便，我们的（1）因为表⽰恒等置换，常常省去不写。可以看到，我们的置换部分（2 4 3）也可以写成（4 3 2）或者（3 2 4），但不可以写成（2
3 4），如果是最后的话那我们的置换则会变成：
。
那么两个置换的复合运算呢？⽐如先进⾏（1 4），再进⾏（1,3）我们会得到什么？
在有些书中，关于置换的复合是从右往左进⾏的，⽐如先进⾏（1 4），再进⾏（1,3）我们把它写成（1 3）（1 4）（⽐如A.ZEE的论），⽽有的书中则写成（1 4）（1 3）（⽐如笔者写本⽂所参考的魔⽅的⽂献），因为本⽂写的主要有关魔⽅，那么我们遵循从左到右的运算顺序。（1 4）（1 3）意味着1投⼊了4的盒⼦，4先投⼊了1的盒⼦然后再转移到3的盒⼦，最后3被投到1的盒⼦⾥。也就是（1 4）（1 3）=（1 4 3）。但是，如果把（1 4）（1 3）从右到左运算的话，我们会得到（1 3 4）。可见两个置换的运算顺序是不可以交换的。
我们把置换括号内的数字个数成为置换的阶，⽐如（1 4）是⼆阶的置换，⽽（1 3 4）是三阶的置换。如果我们把（1 4），也就是⼀个⼆阶的置换重复两次，我们会得到什么？我们先把1 投到4的盒⼦⾥，然后再把它投回1的盒⼦⾥。所以1没有改变位置。同理，4也没有改变位置。那么
演员金莉莉。如果我们把⼀个三阶置换重复三次呢？很容易猜到，我们也会得到⼀个恒等置换。如果我们把⼀个三阶置换重复两次呢？我们把这道题
留作习题，请读者⾃⼰求
。同时，读者也可以⾃⼰试着求求别的规律，⽐如（1 3 4）（1 4）等。做完前两题，尝试将任意⼀个n阶置换表⽰成n-1个⼆阶置换的复
合。
也就是证明
高考如何填志愿。
那么我们的置换也就新鲜出炉啦！我们可以把给定n个元素的置换当成元素构成⼀个，运算法则就是置换的复合。
⽐如我们把三个元素的置换构成⼀个
，其中有什么元素呢？（1）（恒等置换），（1 2），（1 3），（2 3）（⼆阶置换）（1 2 3）和（1 3 2）（三阶置换）。因此三阶置换总共6个元素。四阶置换呢？请读者⾃⼰⽤列举法证明四阶置换有24个元素。很容易⾃⼰计算n阶置换有多少个元素，也就是 个元素。请有兴趣的读者⾃⼰思考⼀下n阶置换与上⽂提到的多边形对称有什么关系。
奇置换与偶置换
由上⾯的习题我们可以知道，任何⼀个置换都可以表⽰成多个⼆阶置换的复合，即
那么因此，多个置换复合也可以表⽰成多个⼆阶置换的复合
我们把任意⼀个置换分解成⼆阶置换后，如果⼆阶置换有奇数个，那么我们称这个置换为奇置换，反之则为偶置换。
习题（有点点难度，且与本⽂关系不⼤，可跳过）：
对于集合
的置换，如果把1变成
，把2变成
，把3变成 ，等等...且每个
都互不相同，试证明积
的正负性可⽤来判断该置换的奇偶性。例如，对于置换（1 2），我们有
，我们的积只有⼀项：
，⽽这个置换为奇置换。对于置换（1 3 2），我们有河南工业大学三口七肛
，等等。
限于篇幅，本⽂先介绍到这⾥，后⾯会接着出新的部分。内容包括，魔⽅究竟是什么，有多少个元素，如何利⽤交换⼦发明魔⽅公式，如何利⽤降法解魔⽅等内容。
第⼆篇：
法会因由：魔⽅与论（⼆）（交换⼦⽜啤！）z huanlan.zhihu
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