第14讲计数综合三
内容概述
典型问题
兴趣篇
1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？
2．小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？
3．用l×2的小方格覆盖2×7的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？
4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？
5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？
6．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？
7．由1、3、4组成的各位数字之和为9的多位数共有多少个？
8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？
9．一个十位数只含有数字l或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？
10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是l，这样的六位数有多少个？
拓展篇
1．老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写l篇，如果冬冬每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？
2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表，共有多少种覆盖方法？
3．现有14块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？
4．如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以把平面分成几个部分？
5．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中。请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？
6．如图14-1所示，一个圆环被分成8部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜
之一，要求相邻两部分颜不同，共有多少种染方法？
7．圆周上有10个点A1，A2，…，A10以这些点为端点连结5条线段，要求任两条线段之问都没有公共点，共有多少种连结方式?
8．在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多，例如1370、36712等．请问：在1至10000中有多少个这样的多位数?
9．有些自然数存在相邻的两位数字顺次为7和5，例如1975、75675等，但432579。不算在内．请问：具有这种性质的六位数有多少个?
10．用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字．请问：这样的九位数共有多少个?
11．一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个l，这样的七位数一共有多少个?
12．满足下面性质的四位数称为“好数”：它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如1346、2579是好数，但1567就不是好数．请问：一共有多少个好数?
超越篇
1．一个九位数，它只由数字l、2和3组成，而且它的任意连续两位数都不等于12、21、22或31，这样的自然数有多少个?如果还要求数字1、2和3每个数字都至少出现一次，则这样的九位数有多少个?
2．(1)如果在一个平面上画出8个三角形，最多可以把平面分成多少个部分?(2)如果在一个平面上画出3个四边形、2个圆、l条直线，最多可以把平面分成多少个部分?
3．如图14—2所示，阴影部分是一个圆环，4条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分?
4．用15个l×2的小纸片覆盖图14—3，共有多少种不同的覆盖方法?
5．对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加l，如此进行下去直到得数为1操作停止．问：经过9次操作变为1的数有多少个?
6．用4种不同的颜将图14—4中的圆圈分别涂，要求有线段连结的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜，共有多少种涂法?(不允许旋转、翻转图14—4)
7．圆周上有15个点A1，A2，…，A15，以这些点为顶点连出5个三角形，要求任意两个三角形没有公共点，共有多少种连结方式？
8．有一年级到六年级的同学各一人，排成一列领取糖果．如果一个高年级的同学站在一个低年级的同学前面，那么这个低年级的同学就会产生一次“怨言”（一个人可以有多次“怨言”）．在一种排列顺序里，我们把所有“怨言”的总数叫“怨言数”．例如：六位同学按下面
的顺序排列：一年级、四年级、三年级、二年级、六年级、五年级，那么这六位同学产生的“怨言”次数依次为0、0、l、2、0、l，这种排列的“怨言数”就是4．请问：有多少种“怨言数”为7的排列顺序？
第 14 讲 计数综合三
兴趣篇
1. 一个楼梯共有 10 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶。走完这 10 级台阶，一 共可以有多少种不同的走法？
【分析】例如登上一级台阶有 1 种走法，登上第二级台阶有 2 种走法(一步走两级或者走两 步每步走一级)；由此得出登上第三级台阶的走法数为1 + 2 = 3 ．又知道走上第四级 台阶的走法总数也等于登上第三级和第二级台阶的走法总数之和，又可以算出登上 第四级台阶共有 2 + 3 = 5 种方法，依此俞小凡个人资料类推：
1 级 | 2 级 | 3 级 | 4 级 | 5 级 | 6 级 | 7 级 | 8 级 | 9 级 | 10 级 |
1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 |
所以，登上第 10 级台阶的走法数为 89．
2. 小悦买了 10 块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃 3 块，直到吃完，共有多少种吃法？
【分析】递推法。吃1 块只有 1 种吃法，吃 2 块有 1 + 1和 2 章子怡结婚了吗两种吃法，吃 3 块有 1+1+1,1+2，
2+1,3 共 4 种吃法，吃 4 块有：1+1+1+1；1+1+2；1+2+1；2+1+1；2+2；1+3；3+1
共 7 种；吃 5 块有 2+4+7=13 种吃法，吃 6 块有 4+7+13=24 种吃法……
事实上，吃 n 块巧克力，吃最后一块前，吃掉的块数是在第 n -1 块或 n - 2 块或 n- 3
块上，所以吃 n 块巧克力的中秋节的节日祝福短语吃法数相当于吃第 n - 1 块和第n - 2 块以及第 n-3 块的
总和。依照这一规律，列表写出吃 1 到 10 块各块的吃法数。最后递推得到吃第 10
块巧克力有 274 种吃法。
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
1 | 2 | 4 | 7 | 13 | 24 | 会员签到44 | 81 | 149 | 274 |
3. 用 1⨯ 2 的小方格覆盖2 ⨯ 7 的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？
【分析】递推法．若用1 ⨯ 2 的小长方形去覆盖 2 ⨯ n 的方格网，设方法数为 An ，那么 A1 = 1 ，
A2 = 2 ．
当 n ≥ 3 时，对于最左边的一列有两种覆盖的方法：⑴用 1 个1 ⨯ 2 的小长方形竖着 覆盖，那么剩下的 2 ⨯ (n -1) 的方格网有 An -1 种方法；⑵用 2 个1⨯ 2 的小长erp仓库管理系统方形横
着覆盖， 那么剩下的 2 ⨯ (n - 2) 的方格网有 An- 2 种方法，根据加法原理，可得
An = An -1 + An- 2 ．
递 推 可 得 到 A3 = 1 + 2 = 3 ，
A7 = 8 + 13 = 21 ，
A4请输入顺丰快递单号 = 2 + 3 = 5 ，
A5 = 3 + 5 = 8 ，
A6 = 5 + 8 = 13 ，
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