2023年高考数学模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（    ） A ．23
-
B ．
23
C ．3
D ．-3
2．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433x
f x =+
，则33log 2f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭（    ）
A ．2-
B ．3
C ．3-
D ．2
3．()()()()(
)*
121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（    ）
A ．3
n C
B ．2
1n C +
C ．1
n n C -
D ．
3
112
n C + 4．已知i 为虚数单位，则
()2312i
i i +=-（    ）
A ．
7455土保安是哪个明星
i + B ．
7455
i - C ．
4755
i + D ．
4755
i - 5．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =(  ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
6．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若
,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（    ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 7．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（      ） A ．3d =
B ．1012a =
C ．20280S =
D ．14a =-
8．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b “是“α//β”的（    ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
问道首饰材料9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141
21
n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式n a =（    ）
A ．n
B ．1n +
C ．21n -
D ．21n
10．已知i 是虚数单位，若z
211i i
删除该聊天怎么恢复=+-，则||z =（    ） A ．2
B ．2
C ．10
D ．10
11．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB ，BP OA ，则DP =
（    ）
A ．2DA DC +
B ．
3
2DA DC + C ．2DA DC + D ．31
22
DA DC +
12．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ABC ⊥底面，6AB AC ==，1222BC BB ==，点P 为线段1AB 上一
动点，则1C P BP +的最小值为________.
14．已知函数2()log f x x =，在区间1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上随机取一个数0x ，则使得0()f x ≥0的概率为    ．
15．已知椭圆22
143
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过椭圆的右焦点2F 作一条直线l 交椭圆于点P 、Q .则1F PQ
内切圆面积的最大值是_________.
16．平行四边形ABCD 中，60,4,2BAD AB AD ∠=︒==，E 为边CD 上一点（不C D 、与重合），将平行四边形
ABCD 沿BE 折起，使五点,,,,A B C D E 均在一个球面上，当四棱锥C ABED -体积最大时，球的表面积为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1
2
. （1）求证：21a b +=；
（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.
18．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x t y t α
α=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数，α为实数）．以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=，曲线1C 与曲线2C 交于,A B ，两点，线段AB 的中点为M ．  （1）求线段AB 长的最小值；  （2）求点M 的轨迹方程． 19．（12分）已知函数()ln f x x =.
（1）设2()
()f x g x x
=
，求函数()g x 的单调区间，并证明函数()g x 有唯一零点. （2）若函数()(1)x h x e af x =--在区间()1,1a
e -+上不单调，证明：111
a a a +>+.
20．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，左、右焦点分别为1,F 2F ，点D 在椭圆C 上，12DF F △
的周长为2.
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过圆2
2
2
:3
E x y +=上任意一点P 作圆E 的切线l ，若l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：AOB
∠为定值.
21．（12分）在直角坐标系中，圆C
的参数方程为：12cos 2sin x y α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若直线l ：cos tsin x t y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩（t 为参数）被圆C
截得的弦长为l 的倾斜角.
22．（10分）已知椭圆()22
2210y x a b a b +=>>，上、下顶点分别是A 、B ，上、下焦点分别是1F 、2F ，焦距为2，
点3,12⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆上. （1）求椭圆的方程；
（2）若Q 为椭圆上异于A 、B 的动点，过A 作与x 轴平行的直线l ，直线QB 与l 交于点S ，直线2F S 与直线AQ 交于点P ，判断SPQ ∠是否为定值，说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【解析】
把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【
详解】
因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23
m =. 【点睛】
本题考查复数的概念，考查运算求解能力. 2、D 【解析】 判断32
1log 03apple系统
-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵32
1log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝如何查英语四级成绩
⎭．
故选：D  【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 3、B 【解析】
根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】
由题意展开式中x 的一次项系数为2
1(1)122
n n n n C +++++=
=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 4、A 【解析】
根据复数乘除运算法则，即可求解. 【详解】
()()()()()232232374
1222255
i i i i i i i i i i +-++===+-++-.
故选：A. 【点睛】
本题考查复数代数运算，属于基础题题. 5、B 【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ． 【详解】
∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+, ∴()()111
1a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪
⎨
+=++⎪⎩，
解得1a ＝﹣10，d ＝3， ∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1． 故选：B ． 【点睛】
李云迪结婚了没有