篮球比赛问题模型
摘    要
篮球比赛中,赢得比赛与否往往能在赛后的技术统计中到直接的关系.本文通过对2个小组12支球队的技术指标分类统计,计算各队在各组的排名,从而得出各指标对球队的贡献顺序依次为罚球命中率、防守篮板、两分命中率、犯规、失误、三分命中率、抢断、进攻篮板、助攻和盖帽.由此引入秩和比()法处理不同组之间的数据,并根据实力指数进行综合排名,最终名次为信电学院、数学学院、物理学院、机电学院、管理学院、化学学院、测绘学院、能源学院、计算机学院、资源学院、生物学院和地质学院,并对各队给出相应建议以提高其水平.
关键词: 指标、排名、秩和比(RSR)法、实力指数.
1 问题的提出
某大学有12个学院,每个学院派出一支男子篮球队参加校内篮球比赛.首先进行分组赛,共分两组,每组6支代表队;小组赛结束后,每组选出两支代表队参加第二阶段的决赛.附表1和附表2分别为第一组和第二组的比赛结果.要求根据这些数据,研究各个代表队的下列问题:
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(1)每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系.
(2)按照技术指标对代表队成绩贡献的大小,将这些技术指标进行排序.嘉兴景点
(3)出对代表队成绩起重要作用的关键比赛场次.
(4)根据这两个小组赛的成绩,预测哪支代表队最有可能夺冠,并将这12支代表队的名次进行排序.
(5)对每支代表队给出几点技术方面的改进建议,以提升该队的竞技水平.
2 模型的假设
比赛规则采取现行的篮球比赛规则,但取消2次技术犯规下场的规则,
    并规定球员累计犯规5次即判罚其下场;
比赛中的事件(裁判误判、球员冲突等各类突发状况)对球员情绪、心态和技术的发挥没有影响;比赛都不存在“垃圾时间” ,或者是球员每秒钟都全力以赴;比赛在法定时间内结束(每队
的出场总时间都相同),比赛指标数据能体现队伍的真实技术和水平(即两支球队交战时,实力差别越大,强队获胜的可能性就越大、指标越出);球员身高、体重和体能等因素对数据无影响或影响不大可忽略不计;球员不出现伤病、停赛的情况并且能正常的发挥,裁判能正确的执法;
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根据附件数据,假定队伍中的4-8号球员为队伍的主力球员,其余9-15号球员为替补球员;
球队在决出小组前两名后,共四支球队争夺冠军,其余八支球队间没有进行任何比赛,即不存在两个小组第三名争夺第五名的情况等.
3 符号的约定
    表示第一小组的球队，分别为数学学院、物理学院、化学学院、生物学院、计算机学院和资源学院;
    表示第二小组的球队,分别为机电学院、信电学院、测绘学院、管理学院、能源学院和地质学院;
    第队第指标的秩次;
＝1,2,……,12　  各球队的序号,分别为数学学院、物理学院、化学学院、生物学院、计算机学院、资源学院、机电学院、信电学院、测绘学院、管理学院、能源学院和地质学院;
＝1,2,……,10　  评价指标,分别为两分球命中率、三分球命中率、罚球命中率、进攻篮板、防守篮板、助攻、抢断、盖帽、犯规和失误;
    各指标所占的权重系数.
计算排名的符号下文中逐步引出.
4 问题的分析
    篮球比赛的技术指标可分为进攻型指标,包括两分命中、三分命中、罚球命中、进攻篮板、助攻和抢断,这些共同决定着球队的进攻能力;防守型指标,包括防守篮板、盖帽、犯规和失误,这些又共同决定着球队的防守能力.又由于两个小组的队伍间并未有任何直接的交锋,因此在考虑总排名时不能只看各队在各自小组的成绩.因此我们引进了实力指数,其中:
实力指数=
进攻=
防守=
5 模型的建立和求解
对问题一的解答
   
根据附表一、二，统计出各队的比赛数据(见附录表一、二).由附录表一、表二分析可知,球队的成绩与两分球命中率、三分球命中率、罚球命中率、进攻和防守篮板、助攻、抢断、盖帽、犯规和失误有关,且两分球命中率、三分球命中率、罚球命中率越高,进攻和防守篮板、助攻、抢断、盖帽的次数越多,相对的犯规和失误的次数越少,球队的成绩越好.
模型二的建立与求解
    为求指标与成绩之间的关系,先计算各小组的排名.
由比赛名次模型,画出如下两个竞赛图(有向完全图).
图三 各小组的相互战绩图
(1)第一小组的排名
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定义竞赛图的邻接矩阵如下:
根据图3,故有 
    记顶点的得分向量为,其中是球队的得分.
则                          ,
继续计算可得                   
……
 
利用定理,素阵的最大特征根为正单根,对应正特征向量,有:
    利用数学软件计算当时最大特征根对应的特征向量,并将其归一化,按大小对各队进行排名:
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我们看到资源学院仅胜1场,但得分向量为,高于胜2场生物学院,因为他战胜了强大的化学学院,但由于成绩不如生物学院,只能排在其后(下同).
故第一小组名次依次为数学学院、化学学院、物理学院、生物学院、资源学院和计算机学院.
(2)第二小组的排名
同第一小组的计算方法,计算得:
而此种局面须根据得失分(机电学院净胜分为,测绘学院净胜分为,管理学院净胜分为等判断,由表二,排得:
    名次为信电学院、机电学院、管理学院、测绘学院、能源学院和地质学院.
    根据排名,将小组第一名的权重分数定为8分,其余为6分,5分,4分,2分,1分.再按照各小组数据最高值定为1,其余按比例关系计算得表四、五(见附录表四、表五).例如在第一小组中,数学学院的两分命中率为,按上述规则整理后的值为,故其分数为8(分)×=(分),如此类推,将各项数据所得权重分数进行累加,归一化后即为各指标的权重系数.
    经计算,两分命中率的权重分数为,三分命中率的权重分数为,罚球命中率的权重分数为,进攻篮板的权重分数为,防守篮板的权重分数为,助攻的权重分数为,抢断的权重分数为,盖帽的权重分数为,犯规的权重分数为,失误的权重分数为.
    故各指标的权重系数分别为:,,,,    ,,,,.所以各指标的排序为:罚球命中率、防守篮板、两分命中率、犯规、失误、三分命中率、抢断、进攻篮板、助攻和盖帽.莫言代表作