永州市2023年高考第一次适应性考试试卷
数 学
命题人:（祁阳一中）（新田一中）（永州一中）
（宁远一中）（道县一中）
审题人：（永州市教科院）
注意事项：
1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
2．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
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1.若集合,则
A.      B.    C.      D.   
2.复数满足,则
    B.    C.    D.   
3.已知平面向量满足,则在方向上的投影向量为
A.    B.    C.      D.   
4.如图所示,九连环是中国传统民间智力玩具,以金属丝制成9个圆环,解开九连环共需要256步,解下或套上一个环算一步,且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作,可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为,已知,按规则有,则解下第4个圆环最少需要移动的次数为
A. 4  B. 7  C. 16  D. 31
5.现有甲、乙、丙、丁四个人到九嶷山、阳明山、云冰山、舜皇山4处景点旅游,每人只去一处景点,设事件为“4个人去的景点各不相同”,事件为“只有甲去了九嶷山”,则
A.    B.    C.    D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度,然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,则的单调递增区间是
A.    B.   
C.    D.    成都加成顾问有限公司
7.已知,则
A.    B.    C.    D.   
特长爱好怎么写8.已知椭圆分别为其左、右焦点,过作直线轴交椭圆于两点,将椭圆所在的平面沿轴折成一个锐二面角,设其大小为,翻折后两点的对应点分别为,记.若,则椭圆的离心率为
A.      B.    C.      D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.分别是正方体的棱的中点,则
A.平面            B.   
C.直线与直线相交    D.与平面所成的角大小是   
10.对于函数,则
A.有极大值,没有极小值   
B.有极小值,没有极大值   
C.函数与的图象有两个交点   
D.函数有两个零点   
11.抛物线,点在其准线上,过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限),则下列说法正确的是
A.   
B.有可能是钝角   
C.当直线的斜率为时,与面积之比为3   
D.当直线与抛物线只有一个公共点时,
12.已知函数,则下列说法正确的是
A.若函数有4个零点,则实数的取值范围为
B.关于的方程有个不同的解   
C.对于实数,不等式恒成立   
D.当时,函数的图象与轴围成的图形的面积为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.斛珠夫人结局是什么
13.在的展开式中,的系数是______.
14.已知两圆与交于两点,则直线的方程为______.
15.函数的最大值是______.
16.在四棱锥中,平面平面,四边形为等腰梯形,为等边三角形,,则四棱锥的外接球球心到平面的距离是_______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)已知数列满足:,且.
(1)若数列为等比数列,公比为,求的通项公式;
(2)若数列为等差数列,,求的前项和.
18.(本题满分12分)如图甲,在边长为4的等边三角形中,,将沿折起,使点到达点的位置,连接,得到如图乙所示的四棱锥,为线段的中点.
(1)求证:;
(2)当翻折到平面平面时,求平面与平面的夹角的余弦值.
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19.(本题满分12分)由扇形和三角形组成的平面图形如图所示,已知,,点在扇形的弧上运动.
(1)求的值;
(2)求四边形面积的最大值.
20．（本题满分12分）我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男、女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：
分钟 性别
(0,40]
(40,60]
(60,90]
(90,120]
女生
10
40
40
10
男生
5
25
40
30
根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在（60，120］内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在（90，120］内认定为“良好”．
(1)完成下列2x2列联表，并依据小概率值α的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联；
不合格
合格
合计
女生
男生
合计
(2)从女生平均每天体育运动时间在的100人中用分层抽样的方法抽取20人,再从这20人中随机抽取2人,记为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数,求的分布列及数学期望;
(3)从全市学生中随机抽取100人,其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为,记“平均每天体育运动时间为'良好'的人数为”的概率为.视频率为概率,用样本估计总体,求的表达式,并求取最大值时对应的值.
附:,其中.
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21.(本题满分12分)点在双曲线上,离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)是双曲线上的两个动点（异于点),分别表示直线的斜率,满足,求证:直线恒过一个定点,并求出该定点的坐标.
22.(本题满分12分)已知
(1)不等式对任意恒成立,求的取值范围;
(2)当有两个极值点时,求证:.