概率积分法
李磊
（中国矿业大学 环境与测绘学院，江苏 徐州 221116）
摘  要：概率积分法的得名是因为其所用的地表移动和变形预计公式中含有概率积分函数，这种方法最先由波兰学者李特威尼申（J.Litwiniszyn）于二十世纪五十年代引入岩层移动的研究，后由我国学者刘宝琛、廖国华等发展为概率积分法。该方法在我国应用最为广泛，也受到了很多学者的研究，并提出了一系列修正模型以适应我国的地质采矿条件。下面简要介绍概率积分法的基本原理以及其在开采沉陷预测方面的应用。
关键词：开采沉陷；概率积分法
Probability integral method
LI Lei
( School of Environment and Survey and Mapping, China University of Mining and Technolo
gy, Xuzhou 221116, China)
Abstract: the probability integral method is named because it is contained in the equation of surface movement and deformation are expected probability integral function, this method first by polish scholar (J.L itwiniszyn), to the research of strata movement in the 1950s, by Chinese scholars Bao-chen Liu, Liao Guohua after development for probability integral method. This method is the most widely applied in our country, have also been many scholars research, and put forward a series of correction model to adapt to the geological and mining conditions of our country. Following a brief introduction to the basic principle of probability integral method and its application in mining subsidence prediction.
Key words: mining subsidence； probability integral method哈尼倒立蜡烛1分43秒图片
1基本原理及公式推导
1．1随机介质理论
概率积分法的理论基础是基于非连续的随机介质理论，所以又叫随机介质理论法。在开采沉陷的理论研究中，常用两种完全不同的介质模型模拟岩体，即连续介质模型和非连续介质模型。由于岩体中存在大量原生的和在开采过程引起的裂隙面和其他非连续面，同时在充分采动或超充分采动情况下，岩层移动规律宏观上近似于颗粒体模型中颗粒的移动，所以用非连续随机介质模型研究开采沉陷问题是比较恰当的。概率积分法则是非连续随机介质的代表。为简化岩层模型，方便理论分析与计算，随机介质理论存在四个基本假设：
假设1：假设岩体是各向同性（岩体的物理、化学性质不会因为方向的不同而不同）、均质的、不连续介质，即开采引起的地表移动与变形与方向无关，也叫等影响原理。
假设2：线性叠加原理。（小开采单元的影响累加）
假设3：弯曲带内岩体只有形变，不发生体积的变化。
假设4：当开采结束，时间趋向于无穷时，地表的下沉体积等于采出矿物体积。
基于以上基本假设，我们可以认为开采引起的岩层和地表的移动规律与作为随机介质的颗粒体介质模型所描述的规律在宏观上相似。图1-1为我们建立的理论模型。
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图1-1 颗粒体随机介质模型  (a)颗粒体模型  (b)各单元移动概率
颗粒体模型模拟实际岩层，假设a1小球代表可采矿物，当a1小球被拿出（采出）后，上部的小球会由于重力的作用向下填充满下面的空格。由于假设各小球的大小、质量相等，故他们的下沉完全随机，上图1-1给出了在第一层小球拿出的情况下各个单元下沉的概率。当各个单元的尺寸非常小时，在任意z水平的概率曲线近似为正态分布曲线，即如上图1-1所示。
图1-2 随机介质的随机游动模型
为了进一步研究任意水平的概率曲线，取随机介质模型中任意三个相邻的格子A、B和C。建立上述随机游动模型。从a1格抽出小球（采出矿物）后，上述三格的移动概率满足以下等式：
假设小格子的尺寸非常小，a、b相对于x、z可以认为是无穷小量，则上式中含有概率P的项可在点(x，z)附近用Taylor级数展开，并根据精度的需要取前2或3项，经过整理可得下式：
           
式中，表示中心坐标为的假想格子出现空位的概率。在岩层内的分布是不连续的。但是在格子尺寸特别小的时候，即a, b的值趋向与无穷小时，可以近似地看成连续函数。因此，在a ,b值趋向于0时对上两边取极限，可得
，令与朱元思书译文，则上式可简化为：
     
式中A为常数，反映格子的尺寸大小。上式为二阶偏微分方程，其解为一个连续函数，表示点附近的无穷小格子出现空位的概率，求解微分方程得到下式：
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令，则上式可化作                 
此时在数值上等于单元开采引起点的下沉值：
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1.2单元水平移动的确定
根据弹性力学的知识以及上述单元下沉的推导，可以得到单元开采引起的水平移动曲线，见下式：         
绘出随机介质理论模型的地表单元下沉盆地及单元水平移动曲线图，如图1-3所示。
图1-3地表单元下沉盆地与水平移动曲线图
1—地表单元下沉盆地；2—地表单元水平移动曲线；
3—开采单元；4—地表
2半无限开采时地标移动盆地走向主断面的移动变形预计
设在煤层倾斜方向上达到充分采动，煤层厚度为m，采深为H。煤壁正上方地表点O作为横轴的原点，x轴正向指向采空区中心，纵坐标W（x）为横坐标为x的地表点的下沉值，W（x）轴竖直向下。纵坐标U（x）为横坐标为x的地表点的水平移动值，U（x）轴竖直向上。见下图：何家劲主演的电影
1-采前顶板位置；2开采单元；W0 -下沉值；3-采后顶板位置
图2-1半无限开采时地表的下沉和水平移动
假定煤层坐标系下坐标原点的左侧煤层全部未开采，而坐标原点右侧的煤层全部开采，这种情况我们叫做半无限开采。以下是这种开采方式的地标移动的预计公式。若开采单元的横坐标为s，地表点任意点的坐标为x，则此开采单元的引起的下沉值为：
   
则整个半无限开采的单位厚度开采引起地表点下沉为：
       
若考虑开采厚度m，开采引起顶板岩石垮落、碎胀，充填采空区，此时采空区顶板下沉量为,其中为概率积分法中的一个参数，称为下沉系数，其值一般小于1。在开采倾斜煤层的时候，地表的下沉量为，其中为煤层倾角。对于横坐标为x的地表任意点，其下沉值为：，应用概率积分函数上式可以化为下面的形式：，上式即为半无限开采地表下沉剖面方程，当x的值为趋近于无穷时，地面下沉值最大，其值为W0，当x=0时，即当半无限开采是煤壁正上方的下沉值为最大下沉值的一半。由上式我们求一次导数和二次导数，这样我们就可以得到沿煤层走向的地表倾斜（i）和地表曲率（k）：
倾斜        
曲率             
水平移动         
水平变形       
开采沉陷研究的最重要的五个变形指标的公式给出了，只要得到某矿的地质采矿条件和概率积分法所需要的参数，下面就可以根据公式进行预计了。以前由于计算机水平的限制，有人将预计公式做了简化，即先按各式求出最大值，再以预计点与主要影响半径的比值作为引数查表，求的分布函数值，乘以相应的最大值就可以得到预计点的移动和变形值。但是这种方法在计算量比较大的情况下效率会非常低。
由以上的公式推导过程可以看出，概率积分法的理论基础坚实，而且公式比较简单、所含的参数也较少。因此此方法有易于计算机编程计算的优点，文章附录有笔者用Ｃ＃计算机语言编写的开采沉陷预计系统部分代码及界面。
3概率积分法的适用范围
由以上分析可得，概率积分法的理论基础的缺陷限制了此方法的推广及应用。由于模型误差、参数误差以及复杂的不可知的地质采矿条件使得该方法预计时出现和现实情况不符合的现象。概率积分法的模型是基于沙箱模型验证的，因此只有在开采区域足够大的情况下
（充分采动或超充分采动），岩层移动的规律与颗粒体模型的移动规律宏观上近似，采用此方法进行开采沉陷预计具有一定的准确性。相反在开采尺寸很小的情况下（非充分采动或极不充分采动），该理论模型并没有考虑煤层顶板以及上覆岩层对垮落的支承作用，因此会出现预计变形值大于实际值，预计范围小于实际的范围。同时当煤层倾角大于45°时，也就是急倾斜煤层情况下，由于上覆岩层不仅有垂直于采空区的位移，同时还有沿层面的滑移，大多数情况下，煤层底板也会向下山方向滑移到采空区，在此种情况下，概率积分法失去其作用。