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.i s s n .1001-5337.2023.1.116 *收稿日期:2021-11-30
基金项目：国家自然科学基金(11205115)；安徽高校自然科学基金(K J 2020A 0695,K J 2021A 1059,K J 2020A 0699)
；铜陵学院大学生创新性训练计划项目(t l x y 2022103830001,t l x y 2022103830004)；安徽省教学示范课 大学物理 项目(2020S J J X S F K 2400)；建筑电气与智能化专业卓越工程师培养创新项目(2020z y r c 153)；安徽省一流教材项目(2020y l j c 127)；安徽省教学研究重点项目(2021j y x m 1547)；铜陵学院2021年度大学生科研基金项目(2021t l x y
d x s 135)；铜陵学院2022年度教学研究项目(基于 两性一度 的大学物理课程教学改革研究)；受 双带头人 教师党支部书记工作室建设项目和样板支部项目资助.
通信作者：王悦，女,1980-，硕士，副教授；研究方向：原子与分子反应动力学，大学物理教学;E -m a i l :w a n g y u e 8001@q q
王 悦, 刘 宇, 方碧绿, 李 南, 胡新春,
孙大鹏, 张 鹏, 孙子尧, 储家乐, 古 俊
(铜陵学院电气工程学院,244000,
安徽省铜陵市) 摘要：使用压力传感器测量了在橡胶薄膜气球充放气过程中球内外的压强差，并结合经典热力学理论进行了数据分析，发现了随着球半径不断变大，球内外压强差呈现出先增大后减小再增大的变化规律，并给出
了相应的物理解释.
关键词：橡胶薄膜气球；压强；半径
中图分类号:O 4-33 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2023)01-0116-04
0 引 言
当今科技迅猛发展，传感器广泛用于生产生活的方方面面，柔性传感器具有很高的灵敏度㊁很短的响应时间，因而引起了众多科学家的兴趣.橡胶薄膜柔性传感器具有人机交互潜力，对人工智能研究有很好的指导意义.通过橡胶薄膜可使某一个腔室隔离或者隔开压强不同的多个腔室，使压力的变化转变成位移变化，通过传感器转为可测电信号，进一步实现控制.橡胶薄膜作为一种柔性传感器敏感元件，在
调节系统各部件进口和出口压强，控制流量和流速等方面起着举足轻重的作用.科学家们在研究橡胶薄膜特性过程中，采用了各种物理㊁数学和化学
建模[1-4]
.
本文从实验出发，通过具体理论分析得出薄膜气球内压特性.
橡胶气球薄膜的受力分析如图1所示.先给气
球打气，然后缓慢放气，记录各个初始尺寸不同的气球内压与半径变化，实验数据与变化曲线如图2所示㊂通过图2可以看出，不论是什么尺寸的气球，外
界大气压与球内压强之间的差值与气球半径大小变化的规律都相同：随着气球不断变大，压强差是先增大后减小再增大，且所有拐点都发生在半径和初始半径比值为1.38左右.下面通过热力学分析给出这一规律的理论解释.
图1 气球膜受力分析
第49卷 第1期2023年1月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t y
上海工商银行支行V o l .49 N o .1
J a n .2023
图2实验数据记录
1物理规律分析
首先把充气的气球看成一个近似的球体，把缓慢放气过程中的每一个稳定状态看成是准静态对于气球内部的气体，利用热力学第一定律㊁热力学第二定律和压强分析出具体关系.由热力学第一定律可知
Q=ΔE+A,
其中Q为系统的吸热,ΔE为内能增加,A为系统对外做功，其微分形式为
d Q=d E+d A.(1)
由热力学第二定律可知系统熵变d S与热量变化d Q满足
d Q=T d S.(2)
对于气球在膨胀过程中的做功可表示为
d A= F d l,(3)其中 F为平均力,d l为空间上的任意方向伸缩量.由式(1)(2)(3)可得
T d S=d E+ F d l.
进而可得
F=T d S d l-d E d l,(4)其中内能变化与橡胶气球薄膜的尺度变化在准静态过程中可以认为依赖性很小，所以(4)式可以写为
F=T d S d l.(5)(5)式中l投影到空间正交的3个方向后分量形式可以写为
F x=T d S d x, F y=T d S d y, F z=T d S d z,(6)其中d x,d y,d z为橡胶气球薄膜在空间3个方向的的伸缩量.
考虑到是用的标准球形近似，定义x,y,z为3个方向的伸缩比，如图3所示，有
x=y=z=r r
,(7)其中r0为初始球膜半径,r为膨胀后的球膜半径
.
图3三维空间分析橡胶膜伸缩比
田欣因为是缓慢放气，所以z方向变化可以忽略，以下仅考虑x,y两个方向的形变.由橡胶膜门尼模型，橡胶膜的无序度有下面关系[5]
l n W=-a(ε12+ε22+ε32-3)-
让1球是什么意思b(ε12ε22+ε22ε32+ε32ε12-3)+ ,
711
第1期王悦，等：基于热力学模型探究橡胶薄膜气球内压特性
上式中ε1=x ,ε2=y ,
ε3=z 为就是上面定义的3个方向伸缩比,a ,b 是与橡胶结构有关的常数.为求解过程的熵，仅考虑上式第1项的前3部分，当考虑到标准球面时,a =n /2,n 为分子数密度，缓慢过程中体积近似不变，所以满足ε3=1ε1ε2，即z =1
x y .此时l n W =-n 2x 2+y 2+1x 2y 2æèçöø
÷,S =k l n W =-12n k x 2+y 2+1x 2y 2æ
èç
öø
÷，代入(6)式x ,y 两个方向可得 F x =T d S d x =n
k T x -1x 3y 2æèçöø÷, F y =T d S d y
=n k T y -1x 2y 3æèçöø÷.
由此可以得出垂直于x 方向上的应力f x 为
f x =x F x V =x T d S V d x =n k T V x 2-1x 2y 2æèçöø
÷=ρk m T x 2
-1x 2y 2æè
ç
öø÷.(8
) 将(7)式代入(8
)式可得f x =ρk m T r r 0æè
çöø
÷2
-r 0r æèçöø÷4éëêêùûúú.由此可以计算橡胶薄膜气球在大圆位置的整体切向力F τ=2πr d f x =2πr d ρk m T r r 0æèçöø÷2
-r 0r æèçöø÷4éëêêùû
úú，其中d 表示橡胶薄膜气球膨胀时径向的变化量，当达
到平衡时切向力和球膜内压对于的压力相等，所以
有Δp ㊃π
r 2
=F τ,Δp =F τπr
2=2ρk T m d
r
r r 0
æèçöø÷2
-r 0r æèçöø÷4éëêêùûúú.(9)因为橡胶是不可压缩的所以膨胀前后橡胶本身体积
不变，所以d r =d 0r 0r 0r æèçöø
÷3
，代入(
9)式可得Δp =2ρk T m d 0r 0r 0r -r 0r æèç
裙底走光öø÷7
éëêêùûúú.(10
初伏是哪天)图4 压强差和半径
变化关系曲线
式(10)
通过拟合可以绘出Δp ~r
r 0
关系
曲线如图4所示.从图4可见橡胶
薄膜气球的内压和半径具有非单调的关系性，曲线的变化趋势和
实验结果吻合的较好,
说明我们的理论分析是合理的.对于(10)
式进一步分析其拐点，也就是求解出d Δ
p d r
的极值，这里把所有
与积分无关的常数整体定义为一个常数C =
2ρk T m d 0，可得Δp =C 1r -r 6
0r 7æèçöø
÷，那么
d Δ
p d r =
d 1r -r 6
0r 7æèçöø÷
d r
.
(11
)式(11)中，当取r 0=
1，伸缩比r
r 0=r ，此时对应r 的取值是拐点位置，所以d 1r -1r 7æèçöø
÷
d r
=0，即-1r 2+
7r -8=0，可得r =6
7ʈ1.383.
此结果与实验的6个球的拐点位置与初始值的比值结果列于表1.
表1 曲线拐点位置与初始值数据
球1气球半径/m
压强差/P a 球4气球半径/m 压强差/P a 拐点0.048860568283.5拐点0.052998596355.5初始半径0.0350140870
初始半径0.0382663380
比值1.39547
比值
1.38501
球2气球半径/m
压强差/P a 球5气球半径/m
压强差/P a 拐点0.0477********拐点0.0555********.5初始半径0.0344225380
初始半径0.0399478910
比值1.38704
比值
1.3904
球3气球半径/m
压强差/P a 球6气球半径/m
压强差/P a 拐点0.0513********拐点0.0531********.5初始半径0.036605637
初始半径0.038310174
比值
1.4031
比值
1.38758
811 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2023年
2 结果讨论
可见,
我们按照热力学方法进行的理论分析与实验结果吻合的很好，可以在一定范围内解释橡胶薄膜气球内压强差随半径变化的规律.
两个连通气球系统的研究广泛用于表面张力的
证明.通过一个气球充气后放气过程压强差和球尺度变化的规律，我们可以设置两个连通小球实验.如果把两个材质一样的球用连通阀门连接，先充气,
再放气进行实验.从图5变化曲线可以分析，当充气半径与初始半径比值大于1.38后,
一定是小球内图5 两连通小球气压变化曲线
压强大于大球的，所以小球往大球里充气；当充气半径与初始半径比值小于1.38时，大球内压大于小球，此时，大球将把气往小球内送；仅当充气半径与初始半径比值等于1.38时，两球内部气压相等，此时能保持稳定.通过气球内压随着气球直径的变化
规律，甚至可以预测气球爆炸时直径的临界值.我们的理论分析对实验有很好的指导意义.
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o n t h e t h e r m o d y
n a m i cm o d e l WA N GY u e , L I UY u , F A N GB i l ü, L IN a n , HU X i n c h u n ,
S U N D a p e n g , Z HA N GP e n g , S U N Z i y
a o , C HUJ i a l e , G UJ u n (D e p a r t m e n t o fE l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g ,T o n g l i n g
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,A n h u i ,P R C )A b s t r a c t :T h e i n s i d e a n d o u t s i d e p r e s s u r e d i f f e r e n c e o f a r u b b e r f i l mb a l l o o nd u r i n g
i n f l a t i o n a n d d e f l a -t i o nw a sm e a s u r e db y a p r e s s u r e s e n s o r .D a t a a n a l y s i sw a s p e r f o r m e d c o m b i n i n g w
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f t h e r a d i u s ,t h e p r e s s u r e d i f f e r e n c e i n s i d e a n d o u t s i d e t h eb a l l o o n i n c r e a s e s f i r s t l y ,t h e nd e c r e a s e s a n d f i n a l l y i n c r e a s e s a
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i n gp h y s i c a l e x p l a -n a t i o n i s g i v e n s i m u l t a n e o u s l y .K e y w
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11第1期 王悦，等：基于热力学模型探究橡胶薄膜气球内压特性
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