江苏省2010年-2015年高考数列题
1.（江苏2010年16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知女生适合什么专业
3122a a a +=，数列
{}n
S 是公差为d 的等差数列。
（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式
k n m cS S S >+都成立。求证：c 的最大值为
2
9
。
【答案】解：（1）由题意知：0d >(1)(1)n d n d =-=-
21323213233()a a a a S S S S =+⇒=⇒-=， 22213)]2),d a d -=
化简，得：2211,a d d d a d -+===
22(1),n d n d nd S n d =+-== ，
当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形。
故所求2(21)n a n d =-。
（2）2
2
2
2
2
2
2
2
2
m n k S S cS m d n d c k d m n c k +>⇒+>⋅⇒+>⋅， 22
2
m n c k
+<；恒成立。 又n m k n m ≠=+且3，222
2
2
2
29
2()()92
m n m n m n k k ++>+=⇒
>， 故9
2
c ≤
，即c 的最大值为29。
【考点】等差数列的通项、求和以及基本不等式。
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于1a 、d 的方程，求出1a ，从而推出n S ，再利用n a 与n S 的关系求出n a 。
（2）利用（1）的结论，对m n k S S cS +>进行化简，转化为基本不等式问题求解，求出c 的最大值的范围。
2.（江苏2011年16分）设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n >k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立.
（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式.
【答案】解：（1）由题设知，当2≥n 时，)(2111S S S S n n n +=+-+即
1112)()(S S S S S n n n n =----+，∴2211==-+a a a n n 。
又22=a ，∴当2≥n 时，22)2(22-=-+=n n a a n ，∴5a 的值为8。 (2) 由题设知, 当{}4,3=∈M k ，且k n >时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+且
)(2111k n k n k n S S S S +=++-+++，
毕福剑视频内容两式相减得1112+-+++=-n k n k n a a a ，即1111+-++++-=-n k n n k n a a a a ，
∴当8≥n 时，6336,,,,++--n n n n n a a a a a 成等差数列，6226,,,++--n n n n a a a a 也成等差数列。
∴当8≥n 时，332-++=n n n a a a 66-++=n n a a )(*，且22-++n n a a 66-++=n n a a 。 ∴当8≥n 时，222-++=n n n a a a ，即22-+-=-n n n n a a a a 。
∴当9≥n 时，3113,,,++--n n n n a a a a 成等差数列，从而33-++n n a a 11-++=n n a a 。 ∴由)(*式知=n a 211-++n n a a ，即11-+-=-n n n n a a a a 。
∴当9≥n 时，设1--=n n a a d ，当82≤≤m 时，86≥+m ，从而由)(*式知
1262+++=m m m a a a
∴13172++++=m m m a a a ，从而1213167()(2+++++-+-=-m m m m n n a a a a a a ， ∴d d d a a m m =-=-+21。∴d a a n n =-+1，对任意都2≥n 成立。
又由k n k n k n S S S S 22=-+-+（{})4,3∈k 可知k k n n n k n S S S S S 2)()(=----+， ∴329S d =且4216S d =。解得d a 274=
。∴d a 232=，d a 2
1
1=。 ∴数列{}n a 为等差数列，由11=a 知2=d ，所以数列{}n a 的通项公式为
12-=n a n 。
【考点】数列递推式，数列与函数的综合。
【分析】（1）由集合M 的元素只有一个1，得到k =1，所以当n 大于1即n 大于等
于2时)(2k n k n k n S S S S +=+-+，都成立，变形后，利用11=a 化简，得到当n 大于等于2时，此数
列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把n =5代入通项公式即可求出第5项的值；
（2）由)(2k n k n k n S S S S +=+-+，利用数列递推式得到
k k n n n k n S S S S S 2)()(=----+，从而求出2=d ，得到数列{}n a 的通项公式。
3.（江苏2011年附加10分）设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,a b ∈{}1,2,3,,n …，a b >．
（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ；
怎么存钱划算（2）记n B 为满足1
()3
a b -是整数的点P 的个数，求n B ．
【答案】解：（1）∵点P 的坐标满足条件331-≤-=≤n a b ，∴3-=n A n 。 （2）设k 为正整数，记)(k f n 为满足条件以及k b a 3=-的点P 的个数。 只要讨论1)(≥k f n 的情形：
由k n k a b 331-≤-=≤，知k n k f n 3)(-=，且3
1
-≤
n k , 设r m n +=-31，其中{}2,1,0,∈∈*r N m ，则m k ≤， ∴∑∑==-==m
k m
k n n k n k f B 1
1
)3()(2
)
332(2)1(3--=
+-
=m n m m m mn ， 将31r n m --=
代入上式，化简得6
)春联上下联
1(6)2)(1(----=r r n n B n ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=不是整数是整数3,6)2)(1(3,6)3(n n n n
n n B n 。
【考点】计数原理，数列递推式。
【分析】（1）n A 为满足3a b -=的点P 的个数，显然(,)P a b 的坐标的差值，与n A 中元素个数有关，直接写出n A 的表达式即可。
（2）设k 为正整数，记)(k f n 为满足题设条件以及k b a 3=-的点P 的个数，讨论)(k f n ≥1的情形，推出k n k f n 3)(-=，根据k 的范围 3
1
-≤n k ，说明1n -是3的倍数和余数，然后求出n B 。
4.（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：
2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+，*N n ∈，
（1）设n n n a b b +=+11
，*N n ∈，求证：数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎪⎪⎩⎭怎么查手机通话记录
是等差数列； （2）设n
n
n a b b •
=+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案】解：（1）∵n n n a b b +
=+11，∴1122
2
=1n n n n n n n n a a b b a ++=+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
。
∴
2
1
11n n n n b b a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
。∴
()2
2
2
垃圾短信投诉221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=+-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
。
∴数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是以1 为公差的等差数列。
（2）∵00n n a >b >，，∴()
()2
2
222
n n n n n n a b a b <a b +≤++
∴12
2
12n n n n n
<a a b +=
≤+。
（﹡） 设等比数列{}n a 的公比为q ，由0n a >知0q >，下面用反证法证明=1q 若1,q >则2
12=
2a a <a q
∴当12log q n >时，112n n a a q +=与（﹡）矛盾。
若01,<q <；则212=
1a a >a >q ，∴当1
1
log q n >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾。
∴综上所述，=1q 。∴()1*n a a n N =∈，∴112<a ≤。 又∵11
22=n n n n b b b a a +=•
•()*n N ∈，∴{}n b 是公比是12a 的等比数列。
若12a ≠，则
1
2
1>a ，于是123b <b <b 。 又由2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+即112
2
1n n
a b a a b +=
+，得22
111212=
1
n a a a b a ±--。
∴123b b b ，，中至少有两项相同，与123b <b <b 矛盾。∴1=2a 。
∴()()
()
2
2
2
2222=
=221
n b ±
-
-。
∴ 12==2a b 。
【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。 【解析】（1）根据题设2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+和n n n a b b +=+11
，求出2
111n n n n b
b a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
从而证明2
2
111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
而得证。
（2）根据基本不等式得到12
2
12n n n n n
a b <a a b ++=≤+，
用反证法证明等比数列{}n a 的公比=1q 。
从而得到()1*n a a n N =∈的结论，再由11
2
2=n n n n b b b a +=••知{}n b 是公比是12的
等比数列。最后用反证法求出12==2a b 。
5、（2013江苏卷19）设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和。记c
n nS b n
n +=
2
，*N n ∈，其中c 为实数。 （1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*,N n k ∈）； （2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c 。
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