第13章最优化问题的其他主题
练习13.1
1．对极小化问题画出类似于教材图13.1这样的一系列图，推导出对应于教材（13.2）到（13.4）的一系列局部极小化的必要条件，然后把这些条件合并为教材（13.5）那样的单个论述。
解：类似极大化问题，对于极小化问题有如图13-1三种情况：
图13-1
为了在问题中到一个使π取局部极大值的x1，必须满足以下三个条件中的一个：f′（x1）＝0且x1＞0（A点）
f′（x1）＝0且x1＝0（B点）
f′（x1）＞0且x1＝0（C点和D点）
这三种情况可被合成一个论述：f′（x1）≥0，x1≥0，且x1f′（x1）＝0。
2．（a ）证明在（13.16）中，m 个独立条件： λi （∂Z/∂λi ）＝0，（i ＝1，…，m ） 写成如下一个等式就足够了：
（b ）我们能否对于下面的一组条件进行同样的改写？ x j （∂Z/∂x j ）＝0（j ＝1，…，n ）
证明：（a ）因为∂Z/∂λi ≥0，λi ≥0，所以λi （∂Z/∂λi ）
≥0，i ＝1，…，m ，进而有。
因为构成和式的每一项都是非负，所以当且仅当每一项为0，
也即：
⇔λi （∂Z/∂λi ）＝0（i ＝1，…，m ） 所以m 个独立条件写成个等式就足够了。
（b ）能。因为∂Z/∂x j ≤0，x j ≥0，所以x j （∂Z/∂x j ）
联通光纤猫≤0（j ＝1，…，n ），进而有。
因为构成和式的每一项都是非正，所以
当且仅当每一项为0，
也即：
1
0m
蒋凡老婆背景
i i i Z λλ=∂=∂∑1
0m
i i i Z
λλ=∂≥∂∑1
m
i i i Z
λλ=∂∂∑1
0m
i
i i
Z
λλ=∂=∂∑1刘涛老公图片
0m
i i i Z λλ=∂=∂∑1
0n
j j j Z
x x =∂≤∂∑1宁哥是谁
n
j j j Z
x x =∂∂∑1
0n
j j j Z
x x =∂=∂∑
3．根据习题2所采用的推理，（13.17）中哪些条件可以合并成一个等式？
解：条件x j （∂Z/∂x j ）＝0（j ＝1，2，…，n ）和条件λi （∂Z/∂λi ）＝0（i ＝1，2，…，m ）均可以合并成一个等式。
4．假设问题是：
且x j ≥0，（i ＝1，2，…，m ；j ＝1，2，…，n ）蒋中一
写出其拉格朗日函数，得出偏导数∂Z/∂x j 或者∂Z/∂λi ，并写出库恩-塔克极小化条件（13.17）的展开式。
解：拉格朗日函数为：
偏导数：
∂Z/∂λi ＝r i －g i （x 1，x 2，…，x n ）。 库恩-塔克极小化条件（13.17）的展开式：
⇔x j （∂Z /∂x j ）＝0（j ＝1，…，n ） 1
0n
j j j x x =∂=∂∑()()1212Min ,,...,..,,
,n i n i
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C f x x x s t g x x x r =≥ ()()12121
,,
,,,,m
i
n i i
n i Z f x x x r g x x x λ=⎡⎤=+-⎣⎦
∑1
m
i j i j i j Z
f g x λ=∂=-∂∑，x j ≥0且 10m i
j i j i j Z f g x λ=∂=-≥∂∑10m i j j i j i x f g λ=⎛⎫-= ⎪⎝⎭
∑
∂Z/∂λi ＝r i －g i （x 1，x 2，…，x n ）≤0，λi ≥0且λi [r i －g i （x 1，x 2，…，x n ）]＝0（i ＝1，2，…，
m ；j ＝1，2，…，n ）
5．把习题4中的极小化问题转化为极大化问题，写出拉格朗日函数，对x j 和λi 求导数，并应用（13.16）中的库恩-塔克条件。得到的结果是不是和习题4得到的结果一致？ 解：极大化问题为：
()
()1212Max ,,,..    ,,
,n i n i
C f x x x s t g x x x r -=--≤-
且x j ≥0，（i ＝1，2，…，m ；j ＝1，2，…，n ） 拉格朗日函数为：
偏导数：
∂Z/∂λi ＝－r i ＋g i （x 1，x 2，…，x n ）。 库恩-塔克条件：
∂Z/∂λi ＝－r i ＋g i （x 1，x 2，…，x n ）≥0，λi ≥0且λi [－r i ＋g i （x 1，x 2，…，x n ）]＝0（i ＝1，2，…，m ；j ＝1，2，…，n ）
显然得到的结果和习题4得到的结果一致。
()()12121
,,...,,,...,m
i n i i n i Z f x x x r g x x x λ=⎡⎤=-+-+⎣⎦
∑1
m i j i j i j Z
f g x λ=∂=-+∂∑10m i
j i j i j Z f g x λ=∂=-+≤∂∑，x j ≥0且 10m i j j i j i x f g λ=⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
∑
练习13.2
1．检验例3中的点（x 1*，x 2*）＝（2，6）是否满足约束规范。 解：因为x 1*，x 2*均不为0，所以忽略（13.22）。
由（13.23）必须令：及－dx 1≤
0。
在点（x 1*，x 2*）＝（2，6），第一个不等式左边为0，所以满足第一个不等式，而由第二个不等式有：dx 1≥0。这两个要求意味着可知必须令dx 1≥0，而可以任选dx 2。因此可知可以选定测试向量为（dx 1，dx 2）＝（1，0），在图中即表示由点（2，6）出发指向正东方向的箭头。显然，满足从点x
*出发且整个包含在可行域内的弧均不与测试向量（dx 1，dx 2）＝（1，0）相切，也即不存在合格的规范弧。因此，点（x 1*，x 2*）＝（2，6）不满足约束规范。
2．
，且x 1，x 2≥0。
用图解法解此题。并检验最优解点是否满足（a ）约束规范；（b ）库恩-塔克极大化条件。 解：首先由约束条件作图13-2，作出可行域，进而求解目标函数的最大值。
()()2
2
2
211
211
22610d 310d 0
x x x x x x x --+--≤1
2212Max ..1
x s t x x π=+≤