专题35 利用二项分布期望方差公式求解期望方差
一、单选题
1．在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数Y，则（    ）
A．    B．
C．    D．
2．已知随机变量X服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数n，p的值为（    ）
A．，    B．，    C．，    D．，
3．若随机变量服从二项分布，则（    ）
A．    B．    C．    D．
4．若随机变量服从二项分布，则的期望（    ）
A．0.6    B．3.6    C．2.16    D．0.216
5．若随机变量，且，则（    ）
A．64    B．128    C．36    D．32
6．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（    ）
A．    B．
C．    D．
7．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（    ）.
A．60，24    B．80，120    C．80，24    D．60，120
8．已知随机变量，若，，则（    ）
A．54    B．9    C．18    D．27
9．已知随机变量服从二项分布，且，则（    ）
A．10    B．15    C．20    D．30
10．为响应国家“足球进校园”的号召，某校成立了足球队，假设在一次训练中，队员甲有10次的射门机会，且他每次射门踢进球的概率均为0.6，每次射门的结果相互独立，则他最有可能踢进球的个数是（    ）
A．5    B．6
C．7    D．8
二、多选题
11．下列判断正确的是（    ）
A．若随机变量服从正态分布，，则
B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件
C．若随机变量服从二项分布：，则
D．是的充分不必要条件
三、解答题
12．某单位在2020年8月8日“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每个参与者投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．
（1）求甲在一次游戏中投篮命中次数的分布列与期望；
（2）若参与者连续玩次投篮游戏获得的分数的平均值不小于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．
13．近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
（1）完成下面列联表，并通过计算说明是否可以在犯错误概率不超0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
对商品好评
对商品非好评
合计
对服务好评
对服务非好评
合计
参考数据及公式如下：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(，其中)
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：
①求对商品和服务全好评的次数的分布列(概率用组合数算式表示)；
②求的数学期望和方差.
14．中国华为手机的芯片均从台积电､联发科､高通三个外国公司进口，设其进口数量的频率如图.
（1）若用分层抽样的方法从库存的芯片中取枚芯片，属于台积电的芯片有几枚？
（2）在（1）的条件下，从取出的枚芯片中任取枚，设这枚中属于台积电的芯片数为，求的分布列和数学期望；
（3）在华为公司海量库存中任取枚芯片，其中属于台积电的芯片数为，求的数学期望.
15．疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.
方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X，求X的分布列；
（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
16．某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：
爱好
不爱好
合计
男
20
30
50
女
10
20
30
合计
30
50
80
（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生、设这3人中爱好羽毛球运动的人数为，求的分布列和期望值：
（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？
附：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
17．网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M外卖平台（以下简称M外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.
订单：（单位：万件）
频率
0.04
0.06
0.10
0.10
订单：（单位：万件）
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频率
0.30
0.20
0.10
0.08
0.02
（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M外卖在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：
①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M外卖订单数Z在区间内的城市数为，求的数学期望（取整数）；
②M外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？
（2）现从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的可能性最大，试求整数k的值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.