第04讲随机事件、频率与概率（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析
题型一：随机事件之间关系的判断题型二：随机事件的频率与概率题型三：互斥事件与对立事件的概率
第四部分：高考真题感悟
知识点一：概率与频率
一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率
()n f A 会逐渐稳定于事件A 发生的概率()P A .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因
此，我们可以用频率()n f A 来估计概率()P A .知识点二：事件的运算
定义
符号表示
图示
并事件事件A 与事件B 至少一个发生，称这个事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件）
A B ⋃或者
A B
+交事件
事件A 与事件B 同时发生，
称这个事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件）
A B ⋂或者
AB
知识点三：事件的关系
定义符号表示图示
包含关系
一般地，若事件A 发生，则事件B 一定发生，
称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ）B A Ê（或
A B ⊆）
互
斥事件
一般地，如果事件A 与事件B 不能同时发生，也就是说A B ⋂是一个不可能事件，即
A B ⋂=∅，则称事件A 与事件B 互斥（或互
不相容）
A B ⋂=∅
对立事件
一般地，如果事件A 和事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A B =Ω ，且
A B ⋂=∅，那么称事件A 与事件B 互为对立，
事件A 的对立事件记为A
A B =Ω ，且
A B ⋂=∅.
（2022·全国·高一课时练习）
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B ，“第二次摸得黑球”记为C ，那么事件A 与B ，A 与C 间的关系是（
）
A ．A 与
B ，A 与
C 均相互独立B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥C ．A 与B ，A 与C 均互斥
D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立
（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）
2．命题“事件A 与事件B 对立”是命题“事件A 与事件B 互斥”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
（2022·全国·高一课时练习）
3．给出下列说法：①若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 为对立事件；②把3张红桃J ，Q ，K 随机分给甲、
乙、丙三人，每人1张，事件A =“甲得红桃J ”与事件B =“乙得红桃J ”是对立事件；③一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．其中说法正确的个数是（）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
（2022·全国·高一单元测试）
4．已知A 与B 是互斥事件，且()0.4P A =，()0.2P B =，则()P A B = （）
A ．0.6
B ．0.7
C ．0.8
D ．0.0
（2022·全国·高一课时练习）
5．利用如图所示的两个转盘玩配游戏两个转盘各转一次，观察指针所指区域的颜（不考虑指针落在分界线上的情况）．事件A 表示“转盘①指针所指区域是黄”，事件B 表示“转盘②指针所指区域是绿”，用样本点表示A B ⋂，A B ⋃．
题型一：随机事件之间关系的判断典型例题
例题1．（2022·陕西渭南·高二期末（文））
6．
设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件A =“中靶”，事件B =“击中环数大于5”，事件C =“击中环数大于1且小于6”，事件D =“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（）
A ．
B 与
C 互斥B ．B 与C 互为对立C ．A 与
D 互为对立
D ．A 与D 互斥
例题2．（2022·全国·高一课时练习）7．下列结论正确的是（
）
A ．若A ，
B 互为对立事件，()1P A =，则()0P B =B ．若事件A ，B ，
C 两两互斥，则事件A 与B C ⋃互斥C ．若事件A 与B 对立，则()1
P A B ⋃=D ．若事件A 与B 互斥，则它们的对立事件也互斥例题3．（2022·全国·高一课时练习）
8．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：事件A ：恰有一件次品；事件B ：至少有两件次品；事件C ：至少有一件次品；事件D ：至多有一件次品．下列选项正确的是（
）
A ．A
B
C = B ．B
D 是必然事件C ．A B C = D ．A D C
= 同类题型归类练
（2022·全国·高一单元测试）
9．若随机事件A ，B 互斥，且()2P A a =-，()34P B a =-，则实数a 的取值范围为（）
A ．43,32⎛⎤ ⎥
⎝⎦
B ．31,2⎛⎤ ⎥
⎝⎦
C ．43,32⎛⎫ ⎪
⎝⎭
D ．14,23⎛⎫ ⎪
⎝⎭
（2022·河南安阳·高一期末）
10．
421事件是什么意思从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，事件D 为“第一件是次品”则下列结论正确的是（）
A ．
B 与D 相互独立B ．B 与
C 相互对立C ．A
D ⊆D ．A C ⋂=∅
（2022·河北·
高一阶段练习）
11．从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设{A =三件产品全不是次品}，{B =三件产品全是次品},{C =三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确
的是（）
A ．A 与C 互斥
B ．B 与
C 互斥C ．任何两个都互斥
D ．A 与B 对立
题型二：随机事件的频率与概率典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）
12．将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所示：组号12345678频数
10
13
14
14
15
13
12
9
第3组的频率和累积频率分别为（
）A ．0.14，0.37
B ．
114，1
27
C ．0.03，0.06
D ．
314，637
例题2．（2022·河南·高三阶段练习（理））
13．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（
）
A ．157石
B ．164石
C ．170石
D ．280石
例题3．（2022·全国·高一专题练习）
14．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.
例题4．（2022·全国·高一单元测试）
15．某射击队统计了甲､乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数，如下表：射击次数
102050100200500甲击中10环的次数9
17
44
92
179
450
甲击中10环的频率乙击中10环的次数8
19
44
93
177
453
乙击中10环的频率
(1)分别计算出甲､乙两名运动员击中10环的频率，补全表格；(2)根据（1）中的数据估计两名运动员击中10环的概率.同类题型归类练
（2022·甘肃·兰州五十一中高一期末）
16．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）
A ．0.48，0.48
B ．0.5，0.5
C ．0.48，0.5
D ．0.5，0.48
（2022·全国·高三专题练习）
17．某同学做立定投篮训练，共3场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．
第一场
第二场
第三场
投篮次数25
2030投中次数
16
13
18
根据图中的数据信息，该同学3场投篮的命中率约为（
）A ．0616．B ．0627．
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