O x
y
A B
C
D
2014 年广东高考文科数学逐题详解
详解提供: 广东佛山市南海中学 钱耀周
参考公式：椎体的体积公式 1
3
V Sh = ，其中S 为椎体的底面积,h 为椎体的高.
一组数据 12 ,,, n
x x x L 的方差 ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
12
1 n
s x x x
x
x
x n é
ù =-+-++- ê
ú ëû
L ，其中x 表示这组数据的平
均数.
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1．已知集合 { } 2,3,4 M = , { } 0,2,3,5 N = ，则M N = I ( )
A ．{ }
0,2 B ．{ }
2,3 C ．{ }
3,4 D ．{ }
3,5 【解析】B ；M N = I { } 2,3 ，选 B .
2．已知复数z 满足( ) 34i 25 z -= ，则z =( )
A ． 34i --
B ． 34i
-+ C ．34i
- D ．34i
+ 【解析】D ； ( ) ( )( )
2534i 25
34i 34i 34i 34i z + =
==+ --+ ，选 D . 3．已知向量 ( ) 1,2 = a , ( ) 3,1 = b ，则 -= b a ( )
A ．( )
2,1 - B ．( )
2,1 - C ．( )
2,0 D ．( )
4,3 【解析】B ； ( ) ( ) ( ) 3,11,22,1 -=-=- b a ，选 B .
4．若变量 , x y 满足约束条件 28 04 03 x y x y +£ ì ï
££ í ï ££ î
，且 2 z x y =+ 的最大值等于( )
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11
【解析】C ；画出可行域如图所示，为一个五边形OABCD 及其内部区域，当直线 2 y x z =-+ 过点 ( )
4,2 B 时,z 取得最大值 24210 z =´+= ，选 C . 5．下列函数为奇函数的是( )
A ． 1
2 2
x x y =-
B ． 3 sin y x x =
C ． 2cos 1 y x =+
D ． 2 2
x
y x =+ 【解析】A ；设 ( ) 1 2 2 x
x f x =-
，则 ( ) f x 的定义域为R ，且 ( ) ( ) 11 22 22
x x
x x f x f x - - -=-=-=- ，所以 ( ) 1
2 2
x x f x =- 为奇函数，选A .
6．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段间隔为( )
A ．50
B ．40
C ．25
D ．20
【解析】C ；分段间隔为 1000
25 40
= ，选 C .
7．在 ABC D 中，角 ,, A B C 所对应的边分别为 ,, a b c ，则“a b £ ”是“sin sin A B £ ”的( )
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
1
l 2
l 3
l 4 l 4
l 【解析】A ；结合正弦定理知sin sin 2sin 2sin A B R A R B a b £Û£Û£ ，选 A .
8．若实数k 满足05 k << ，则曲线 22 1 165 x y k -= - 与曲线 22
1 165
x y k -= - 的( )
A ．实半轴长相等
B ．虚半轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
【解析】D ；因为05 k << ，所以两条曲线均为双曲线，且 2
c 均为21 k - ，故选 D .
9．若空间中四条两两不同的直线 1 l , 2 l , 3 l , 4 l ，满足 12 l l ^ , 23 // l l , 34 l l ^ ，则则下列结论一定正确的是
(
)
A ． 14
l l ^ B ． 14
// l l C ． 1 l 与 4 l 既不垂直也不平行 D ． 1 l 与 4 l 的位置关系不确定 【解析】D ；弄个正方体一目了然!
10． 对任意复数 1 w , 2 w 定义 1212 w w w w *= ，其中 2 w 是 2 w 的共轭复数，对任意复数 123 ,, z z z ，有如下四个命
题:
① ( ) ( ) ( ) 1231323 z z z z z z z +*=*+* ； ② ( ) ( ) ( ) 1231213 z z z z z z z *+=*+* ； ③ ( ) ( ) 123123 z z z z z z **=** ； ④ 1221 z z z z *=* ；
则真命题的个数是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】B ；①( ) ( ) ( ) ( ) 12312313231323 z z z z z z z z z z z z z z +*=+=+=*+* ，故①为真命题；
② ( ) ( )
( ) ( ) 12312312312131213 z z z z z z z z z z z z z z z z z *+=+=+=+=*+* ，故②为真命题； ③左边 123 z z z = ，右边 ( )
( ) ( )
123123123 * z z z z z z z z z === ，左边¹ 右边，故③为假命题； ④左边 12 z z = ，右边 21
z z = ，左边¹ 右边，故④为假命题.故只有①②为真命题，选B . 二、填空题：本大共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） (一)必做题(11～13 题)
11．曲线 53 x
y e =-+ 在点( ) 0,2 - 处的切线方程为
．
【解析】520 x y ++= ；由 5 x
y e ¢=- 得 0 5 x y = ¢ =- ，故切线方程为 25 y x +=- ，即520 x y ++= .
12. 从字母 ,,,, a b c d e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为_______.
【解析】 2 5 ； 1
4
2 5 42 105
C P C === .
13. 等比数列{ } n a 的各项均为正数，且 15 4 a a = ，则 2122232425
log log log log log a a a a a ++++=______. (二)选做题(14～15 题，考生只需从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线 1 C 和 2 C 的方程分别为 2
2cos sin
r q q = 和 cos 1 r q = . 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 1 C 和 2 C 交点的直 角坐标为______.
【解析】( ) 1,1 ；由 2 2cos sin r q q = ，可得 ( ) 2
2cos sin r q r q = ，即 2 2 y x = .由 cos 1 r q = ，可得 1 x = .
曲线 1 C 和 2 C 交点的直角坐标为(
) 1,2 . 15.(几何证明选讲选做题)如图 1，在平行四边形ABCD 中，点E 在 AB 上且
2 EB AE = , AC 与DE 交于F ，则
CDF AEF D =
D 的面积
的面积
.
【解析】9；考查相似三角形性质的应用.由题易知 CDF D ∽ AEF D 所以相似比为
3:1 CD AE = ，故 CDF AEF D D 的面积
的面积
为相似比的平方，即为9. 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分 12分)
已知函数 ( ) sin 3 f x A x p æ
ö
=+ ç÷ è
ø ,x ÎR ，且 532
122
f p æö =
ç
÷ èø . (1) 求A 的值； (2) 若 ( ) ( ) 3,0, 2 f
f p q q q æö --=
Î ç÷ èø ，求 6 f p q æö - ç÷ èø
.
【解析】(1) 依题意 553232 sin sin 12123422 f A A A p
p p p æöæö
=+=== ç
÷ç÷
èøèø ，解得 3 A = ； (2) 由(1)知, ( ) 3sin 3 f x x p æ
ö
=+ ç÷ è
ø
,
又 ( ) ( ) 3 f
f q q --=
，所以3sin 3sin 3 33 p p q q æöæ
ö +--+= ç÷ç÷ èøè
ø ，展开化简得 3 sin 3 q = ,
又 0, 2 p q æö Î ç÷ èø
，所以 2
6
cos 1sin 3
q q =-= , 所以 3sin 3sin 3cos 6632 f p p p p q q q q æöæöæö
-=-+=-= ç
÷ç÷ç÷ èøèøèø
6 = .
17.(本题满分 13分)
年龄(岁)
工人数(人)
19
1 28 3 29 3 30 5 31 4 3
2
3 40
1 合计
20
(1) 求这20名工人年龄的众数与极差；
(2) 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3) 求这20名工人年龄的方差.
【解析】(1) 这20名工人年龄的众数为30，极差为401921 -= ；
(2) 作出这20名工人年龄的茎叶图如下:
D A
B
C
E
F 图 1
1 9
2 8 8 8 9 9 9
3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4
(3) 这20名工人年龄的平均数 1928329330531432340
30 20
x +´+´+´+´+´+ = = ,
方差 2222222
2
1 (11)3(2)3(1)50413210 20 s éù -+´-+´-+´+´+ =
+´ ëû 1 (121123412100) 20 =+++++ 1 252 20
=´ 12.6 = . 18.(本题满分 13分)
如图 2 ，四边形 ABCD 为矩形, PD ^ 平面 ABCD , 1 AB = , 2 BC PC == ，作如图3 折叠，折痕
// EF DC ，其中点 , E F 分别在线段 , PD PC 上，沿 EF 折叠后点 P 落在线段 AD 上的点记为M ，并且 MF CF ^ .
(1) 证明:CF ^ 平面MDF ； (2) 求三棱锥M CDE - 的体积.
【解析】(1) 因为PD ^平面 ABCD ,PD Ì 平面PCD ，所以平面PCD ^平面ABCD ,
又平面PCD I 平面ABCD CD = ,MD Ì平面 ABCD ,MD CD ^ ，所以MD ^ 平面PCD , 又CF Ì平面PCD ，所以CF MD ^ ，又CF MF ^ ,MD MF M = I ，所以CF ^ 平面MDF . (2) 因为CF ^ 平面MDF ,DF Ì 平面MDF ，所以CF DF ^ , 又易知 0
60 PCD Ð= ，所以 0
30 CDF Ð= ，从而 11 22 CF CD =
= ，因为 // EF DC ，所以 DE CF
DP CP
= , 即 1
2 = 2 3
DE ，所以 3 4 DE = ，所以 334 PE = , 13 28 CDE S CD DE D =×= ,
222222 3336
(
)() 442
MD ME DE PE DE =-=-=-= , 所以 11362
338216
M CDE CDE V S MD - D =
×=××= . 19.(本题满分 14分)
设各项均为正数的数列{ } n a 的前n 项和为 n S ，且 n S 满足 ( ) ( )
222 330 n n S n n S n n -+--+= , *
n ÎN .
(1) 求 1 a 的值；
(2) 求数列{ }
n a 的通项公式； A
B
C
D
P
图 2
P
C
B
A D
E
F M 图 3
(3) 证明：对一切正整数n ，有
( ) ( ) ( ) 1122 1111
1113
n n a a a a a a +++< +++ L .
【解析】(1) 令 1 n = 得 2
11 60 S S +-= ，因为 1 0 S > ，所以 1 2 S = ，即 1 2 a = .
(2) 由 (
) (
)
2
2
2
330 n n S n n S n n -+--+= 得 2
(3)()0 n n S S n n éù +-+= ëû ,
因为 0 n a > ，所以 0 n S > ，从而 30 n S +> ，所以 2
n S n n =+ ,
当 2 n ³ 时, 2
2
1 (1)(1)
2 n n n a S S n n n n n - éù =-=+--+-= ëû , 又 1 221 a ==´ ，所以 2 n a n = ，即数列{ } n a 的通项公式为 2 n a n = . (3) 当 2 n ³ 时,
( ) ( ) ( )( ) 111111 1221212122121 n n a a n n n n n n æö
=<=-
ç÷ ++-+-+ èø
所以
( ) ( ) ( ) 1122 111 111 n n a a a a a a +++ +++ L 11111111 23235572121 n n æö <+-+-++- ç÷
´-+ èø
L 11111111 623216233
n æö =
+-<+´=
ç÷ + èø 当 1 n = 时,
( ) 11 11 13 a a < + ，故对一切正整数n ，有 ( ) ( ) ( ) 1122 1111
1113 n n a a a a a a +++< +++
L .
20.(本题满分 14分)
已知椭圆C : 22 22 1 x y a b += ( 0 a b >> )的一个焦点为 ( )
5,0 ，离心率为 5
3
.
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 若动点 ( ) 00 , P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
【解析】(1)由 5 c = 及 5 3 c e a == ，可得 3,952 a b ==-= ，故椭圆C 的标准方程为 22 1 94
x y += .
(2) 不妨设点P 引椭圆C 的两条切线对应的切点分别是 , A B ，且
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 00 ,3,2,3,2,3,2,3,2 x y Ï---- ,
设直线PA 为 ( ) 00 y y k x x -=- ，则PB 为 ( ) 00 1
y y x x k
-=-
- . 由 ( ) 00 22 1 94
y y k x x x x ì-=- ï í +
= ï î 消去 y 整理得( ) ( ) ( ) 2 22
0000 49189360 k x k y kx x y kx ++-+--= , 则 (
)
2
2
0000 9240
x k x y k y D =-++-= 同理可得( )
2
2 0000 11 9240 x x y y k k æöæö --+-+-= ç÷ç÷ èøèø
.
可知k 和 1 k
-
是方程(
)
2
2
0000 9240 x x x y x y -++-= 的两个实数根，则有
2
0 4 1 1 9 y k k x - æö ×-=-= ç÷ - èø
，整理得 22 00 13 x y += , 易知( )
( ) ( ) ( ) ( ) { } 00 ,3,2,3,2,3,2,3,2 x y Î---- 也符合，故点P 的轨迹方程为 2
2 00 13
x
y += .
21.(本题满分 14分)
已知函数 ( ) 3
2 1 1 3
f x x x ax =
+++ ，其中a ÎR . (1) 求函数 ( ) f x 的单调区间；
(2) 当 0 a < 时，试讨论是否存在 0 11 0,,1 22 x æ
öæö Î ç÷ç÷ èøèø
U ，使得 ( ) 0 1 2 f x f æö = ç
÷ èø
. 【解析】(1)求导得 2
()2 f x x x a ¢ =++ ，方程 2
20 x x a ++= 的判别式 44a D =- ,
当 0 D £ 即 1 a ³ 时, ()0 f x ¢ ³ ，此时 ( ) f x 在( ) , -¥+¥ 上递增；
当 1 a < 时，方程 2
20 x x a ++= 的两不等实根分别为 1 11 x a =--- , 2 11 x a =-+- , 由 ()0 f x ¢ > 得 11 x a <--- 或 11 x a >-+- ； 由 ()0 f x ¢ < 得 1 1 1 1 a x a ---< -+- < . 综上，当 1 a ³ 时, ( ) f x 的递增区间为( ) , -¥+¥ ；
当 1 a < 时, ( ) f x 的递增区间为 ( ) ( )
,11,11, a a -¥----+-+¥ , 递减区间为 ( )
11,11 a a ----+- . (2) ( ) 3232 0000 1111
11 1()()()1 233222 f x f x x ax a æö
éù -=
+++-+++ ç÷ êú èøëû
3322 000 1111
()()() 3222
x x a x éùéù =-+-+- êúêú ëûëû 2 0 00000 111111 ()()()()() 3224222
x x x x x a x éù =-+++-++- êú ëû 2 00 00 111 ()() 236122 x x x x a =-+++++ 2 000 11 ()(414712) 122 x x x a =-+++ ,
若存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ，使得 ( ) 0 1 2 f x f æö
= ç÷ èø
,
必须 2
00 4147120 x x a +++= 在 11 0,
,1 22 æ
öæö ç÷ç÷ èøèø
U 上有解, 因为 0 a < ，所以 2
1416(712)4(2148)0 a a D =-+=-> , 方程 2
00 4147120 x x a +++= 的两根为 142214872148 84
a a
-±--±- = ,
又 0 0 x > ，所以 0 72148 4 a x -+- =
，依题意 7+2148 01 4
a广东2014高考
-- << ，即7214811 a <-< ,
所以492148121 a <-< ，即 257 1212 a -<<- ，又由 7+21481 42 a -- = ，得 5
4
a =- , 综上，当 257 1212 a -<<- 且 5 4 a ¹- 时，存在唯一的 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ，使得 ( ) 0 1 2 f x f æö
= ç÷ èø
, 当 2512 a <-
或 7 12 a >- 或 5 4 a =- 时，不存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ，使得 ( ) 0 1 2 f x f æö = ç÷ èø
.
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