2014·广东卷(文科数学)
1．[2014·广东卷] 已知集合M ＝{2，3，4}，N ＝{0，2，3，5}，则M ∩N ＝(  )                  A ．{0，2}B ．{2，3} C ．{3，4}D ．{3，5}
1．B  [解析]∵M ＝{2，3，4}，N ＝{0，2，3，5}，∴M ∩N ＝{2，3}． 2．[2014·广东卷] 已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝(  ) A ．－3－4iB ．－3＋4i C ．3－4iD ．3＋4i
2．D  [解析]∵(3－4i)z ＝25，∴z ＝
253－4i ＝25（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）
＝3＋4i. 3．[2014·广东卷] 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝(  ) A ．(－2，1)  B ．(2，－1)  C ．(2，0)  D ．(4，3)
3．B  [解析]b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．
4．[2014·广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于(  )
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11
4．D  [解析]作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．作出直线l ：2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (4，3)时，直线l 的截距最大，此时z ＝zx ＋y 取得最大值，最大值是11.
5．[2014·广东卷] 下列函数为奇函数的是(  ) A ．2x －1
2x B ．x 3sin x
C ．2cos x ＋1
D ．x 2＋2x
5．A  [解析]对于A 选项，令f (x )＝2x －12x ＝2x －2－x ，其定义域是R ，f (－x )＝2－
x －2x
＝－f (x )，所以A 正确；对于B 选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x 3sin x 是偶函数；C 显然也是偶函数；对于D 选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数．
6．[2014·广东卷] 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(  )
A ．50
B ．40
C ．25
D ．20
6．C  [解析]由题意得，分段间隔是1000
40
＝25.
7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的(  )
A ．充分必要条件
B ．充分非必要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分非必要条件
7．A  [解析]设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.
∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .
8．[2014·广东卷] 若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 2
5＝1的(  )
A ．实半轴长相等
B ．虚半轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
8．D  [解析]∵0<k <5，∴5－k >0，16－k >0.对于双曲线：x 216－y 2
5－k ＝1，其焦距是
25－k ＋16＝221－k ；对于双曲线：x 216－k －y 2
5＝1，其焦距是216－k ＋5＝221－k .故
焦距相等．
9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )
A ．l 1⊥l 4
B ．l 1∥l 4
C ．l 1与l 4既不垂直也不平行
D ．l 1与l 4的位置关系不确定
9．D  [解析]本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线
l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．
10．、[2014·广东卷] 对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复
数z 1，z 2，z 3有如下四个命题：
①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)； ②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)； ③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)； ④z 1*z 2＝z 2*z 1.
则真命题的个数是(  ) A ．1B ．2 C ．3D ．4
10．B  [解析]根据新定义知，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，所以①正确；对
于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 3＝z 1z 2＋z 1z 3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，所以正确；对于③，左边＝(z 1z 2)*z 3＝z 1z 2  z 3；
右边＝z 1*(z 23)＝z 1z 2  z 3＝z 1z 2z 3＝z 1z 2z 3→广东2014高考
，不正确；对于④，可以通过举特殊例子进行判断，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i ，左边＝z 1*z 2＝z 1z 2＝(1＋i)(2＋i)＝3＋i ，右边＝z 2*z 1＝z 2z 1＝(2＋i)(1－i)＝3－i ，所以④不正确．
11．、[2014·广东卷] 曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
11．5x ＋y ＋2＝0 [解析]∵y ′＝－5e x ，∴所求切线斜是k ＝－5e 0＝－5，∴切线方程是y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.
12．[2014·广东卷] 从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．
12.2
5 [解析]所有事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个，其中含有字母a 的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，共4个，所以所求事件的概率是P ＝410＝2
5
.
13．、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3
＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．
13．5 [解析]在等比数列中，a 1a 5＝a 2a 4＝a 2
3＝4.因为a n >0，所以a 3＝2，所以a 1a 2a 3a 4a 5
＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 53＝25
，
所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5. 14．[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．
14．(1，2) [解析]本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化以及曲线交点坐标的求解．
曲线C 1的直角坐标方程是2x 2＝y ，曲线C 2的直角坐标是x ＝1.联立方程C 1与C 2得
⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2，x ＝1，所以交点的直角坐标是(1，2)． 15．[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-1所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的周长△AEF 的周长
＝________．
图1-1
15．3 [解析]本题考查相似三角形的性质定理，周长比等于相似比．∵EB ＝2AE ，∴AE ＝13AB ＝1
3CD .又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴△AEF ～△CDF ，∴△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝3.
16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝
322.
(1)求A 的值；
(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π
6－θ.
17．[2014·广东卷] 某车间20名工人年龄数据如下表：
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差． 18．、[2014·广东卷] 如图1-2所示，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图1-3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF
折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .
(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M -CDE 的体积．
图1-2        图1-3
19．[2014·广东卷] 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2
＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.
(1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）<1
3.
20．、[2014·广东卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为5
3.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的
轨迹方程．
21．[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝1
3x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)当a <0时，试讨论是否存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12.