专题17 路线问题
[读一读]
回家的路线不只一条
国外有句名言，叫“条条大路通罗马”，用我们的话来“翻译”，可以说成：“条条大路通北京”。
这句话告诉我们，只要我们坚持不懈地走下去，通向成功的路不止一条，就象骑车去北京也是一种走法一样。
不是吗？好好想想，你从家走到学校的路肯定不只有一条。
数学中研究的路线问题，关键在不遗漏不重复地到所有情形。
南京有几个火车站[想一想]
例1 从学校到车站有2条路可走，从车站到家里有1条路可走，从学校到车站乘车回家，有几种不同的走法？
[剖析]可以把题中表述的方法用图表示出来：
由图可看出，从学校出发可以走①号线到车站再走③号线到家；也可以走②号线到车站再走③号线回家。
[解]从学校回家，有两种不同的走法：①→③，或②→③。
[练一练]
1、小红从家到敬老院有2条路可走，从敬老院到公园也有2条路可走，小红从家到公园有几种走法？
2、小英从家到书店有2条路可走，从书店到电影院有3条路可走，从家到书店再到电影院，有几种不同的走法？
[解]1、
有4种走法①→③，②→③，①→④，②→④
2、有6种不同的走法：①→③，①→④，①→⑤，②→③，②→④，②→⑤。
例2 从小华家到学校有三条路可走，从学校到红领巾公园有2条路可走，从小华家经过学校到红领巾公园，有几种不同的走法？
[剖析]示意图如下，分别给不同的路径标号。
由图可知，从小华家出发，如果先走①号线到学校，到校后可走④号线，或走⑤号线到公园，这样就有两种走法。如果先走②号线到学校后，仍有④号、⑤号线这两种走法。如果先走③号线到学校后，还是有两种走法。这样一共有2+2+2＝6（种）不同的走法。
不同的走法有：
[解]①→④，②→④，③→④，①→⑤，②→⑤，③→⑤共6种。
[练一练]
1、从公园到城堡有2条路，从城堡到森林动物园有4条路，从公园到森林动物园有几种走法？
2、从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到乙地再到丙地有几种走法？
[解]1、共有8种线路：
①→⑥，①→⑤，①→④，①→③，②→⑥，②→⑤，②→④，②→③
2、
有12种不同的走法：①→④，①→⑤，①→⑥，①→⑦，②→④，②→⑤，②→⑥，②→⑦，③→④，③→⑤，③→⑥，③→⑦。
[列3]一只蚂蚁从“1”处爬到“4”处（只能向上或向右行走），有几种不同走法？
这表明走的时候不能往回走，而由图知，“1”处出来有两条线，表明从“1”出发有两种走法。
[剖析]根据只能向上、向右行走，可以这样想：蚂蚁从“1”处出发如果先爬到“2”处，再从“2”处可以经过“3”处到“4”处，也可以经过“5”处到“4”处，这样有两种走法；如果蚂蚁从“1”
处出发先爬到“6”处，那么只能经过“5”处到达“4”处，有一种走法。这样一共有2+1＝3（种）不同走法。
[解]1→2→3→4，1→2→5→4，1→6→5→4共3种
[练一练]
1、小蜗牛从“1”处爬到“6”处（只能向上、向右爬行），有几种不同走法？
2、公园前门到后门只有这样几条汽车行驶路线（如图所示），一汽车从前门到后门共有几种不同的走法？
[解]1、小蜗牛从“1”处爬到“6”处，共有3种不同路线。
①→③→⑤→⑥，①→③→④→⑥，①→②→④→⑥
2、汽车从前门到后门共有6种走法。
[例4]班上举行羽毛球对手赛，每一组推选一名代表共四名队员，每个人都和另外三人赛一场，这样一共要打几场比赛？
[剖析]不妨用①、②、③、④来表示四个同学，先考虑①号同学，由于每个人都要和另外三个人赛一场，那么①号同学就要和②号、③号、④号同学各赛一场，这样要打3场比赛，再考虑②号同学，他已经与①号赛过，只要再和③号、④号各赛一场，这样要打2场比赛，同样，③号同学还要和④号同学赛一场。
[解]①→② ①→③ ①→④ ②→③ ②→④ ③→④
这样一共要打3+2+1＝6（场）乒乓球赛。
[点拨]在类似的规则下，球类比赛（如乒乓球等），握手等的总数与相互寄信、赠书等的总数并不相同。
[练一练]
1、北京举行校园杯大学生足球友谊比赛，共有五个队参赛，每队都要和另外四个队赛一场，这样一共要踢几场足球赛？
2、四个小伙伴在新年来临之前互相赠送贺年卡，这样一共要送出多少张贺年卡？
[解]1、用①②③④⑤表示五个队，一共要踢10场足球赛，即：
①→② ①→③ ①→④ ①→⑤ ②→③ ②→④ ②→⑤ ③→④ ③→⑤ ④→⑤
2、一共要送出12张贺年卡。
例5 一辆客车往返于南京、上海、杭州三地，请问，车站要为这辆客车准备多少种不同的车票供旅客选择？
[剖析]先考虑从南京出发的旅客需要几种不同的车票：①南京→上海，②南京→杭州。再考虑从上海出发的旅客，只需要上海→杭州的车票。
但因为条件中说这辆客车是往返于南京、上海、杭州三地，也就是说不但要从南京→上海→杭州，而且还要从杭州→上海→南京。
因此还要考虑从杭州出发的旅客需要①杭州→上海 ②杭州→南京两种车票。从上海出发的旅客需要→南京一种车票。
[解]汽车站要为这辆客车准备6种不同的车票供旅客选择。
[练一练]
1、一艘客船往返于上海、宁波、大连三地，要准备多少种不同的船票？
2、用数字1、2、3可以组成多少个不同的三位数？
[解]1、从上海→宁波→大连，需要①上海→宁波 ②上海→大连 ③宁波→大连三种船票
从大连→宁波→上海，需要①大连→宁波 ②大连→上海 ③宁波→上海三种船票
2、先考虑百位上是1的数，有123和132两个；再考虑百位上是2的数，有213和231两个；最后，百位上是3的有312和321.
可以组成6个三位数：123、132、213、231、312、321
[做一做]
1、如图所示，从书店到音像店有几条不同的路线？
2、如图所示从的士停靠点到火车站有几条不同路线？是哪几条？
3、如图所示，从大门到亭子有几条不同路线？
4、小蚂蚁从1走到5，不走重复路，有几种不同的走法？
5、小明、小红、小强、小莉是好朋友，这天他们每两人互通了一次电话，请问这天他们一共通了多少次电话？
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