2022北京汇文中学初二（上）期中
数学
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
A. B. C. D.
2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
A. x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
B. 3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1
C. m（a+b）＝ma+mb
D. （a+2）2＝a2+4a+4
3. 已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（）
A. 8
B. 7
C. 5
D. 6
4. 桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( )
A. 节省材料，节约成本
B. 保持对称
C. 利用三角形的稳定性
D. 美观漂亮
5. 下列运算结果为a6的是()
A. a3•a2
B. a9﹣a3
C. (a2)3
D. a18÷a3
6. 如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，FG是（）
A. 以点C为圆心、OD的长为半径的弧
B. 以点C为圆心、DM的长为半径的弧
C. 以点E为圆心、DM的长为半径的弧
D. 以点E为圆心、OD的长为半径的弧
∠的平分线上：②点O到7. 如图，点O是ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在A
ABC的三边的距离相等；③OB OC
=，以上结论正确的有（）
A. ②③
B. ①②
C. ①③
D. ①②③
8. 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且MN ＝1
2BC ，MD ⊥BC 交AB 于点D ，NE ⊥BC 交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，△BMD 和△CNE 的面积之和（ ）
A. 保持不变
B. 先变小后变大
C. 先变大后变小
D. 一直变大
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 如果等腰三角形一边长为3，另一边长为10，那么它的周长是 _____．
10. 已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是 _____．
11. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则表示ABC 重心的点是__________；
12. 有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2()a b +，则宽为 _____．
13. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC ＝CD ＝DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE ＝75°，则∠COD ＝_____°．
14. 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又
不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：
6个正三角形，记作(3,3,3,3,3,3)；3个正三角形和两个正方形，记作(3,3,3,4,4)；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形的镶嵌方案 _____．
15. 如图，等边ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且17AD =，E P ，分别是AC ，AD 上的动点，则CP EP +的最小值等于 _____．
16. 新年联欢，某公司为员工准备了A 、B 两种礼物，A 礼物单价a 元、重m 千克，B 礼物单价（a +1）元，重（m ﹣1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲盒的总价钱相差 _____元，通过称重其他盲盒，大家发现：
三、解答题（共68分，其中17-18题每题8分，19-20题每题5分，21题6分，22-23题每题5分，24-25题每题6分，26-27题每题7分）
17. 因式分解：
（1）2363x x ++；
（2）39a a −．
18. 计算：
（
1）()3322a a a a ⋅+−÷；
做小盲盒（2）()()()22m n m n n m ⎡⎤+−+−÷⎣
⎦． 19. 已知210x x −+=，求代数式2(1)(1)(21)x x x +−+−的值．
20. 已知：如图，=AB AD ，=AC AE ，BAD CAE ∠=∠，求证：=BC DE ．
21. 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a 和线段b ．
求作：ABC ，使得AB AC =，BC a =，BC 边上的中线为b ．
作法：如图2，
①作射线BM ，并在射线BM 上截取BC a =；
②作线段BC 的垂直平分线PQ ，PQ 交BC 于D ；
③以D 为圆心，b 为半径作弧，交PQ 于A ；
④连接AB 和AC ．
则ABC 为所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知BC a =，AD b ．
∵PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上，
∴AB AC =（ ）（填依据）．
又∵线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于D ，
∴ ＝ ．
∴AD 为BC 边上的中线，且AD b ．
22. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 平分∠ABC ，AD ＝10，求CD 的长．
23. 课本上介绍了求多边形的内角和的方法是过n 边形的一个顶点作对角线，把n 边形分成(2)n −个三角
形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题．从而得到n 边形的内角和等于(2)180n −⋅︒，现在再提供两种添辅助线的方案，请你选择其中一种，再次证明n 边形内角和定理． P 为n 边形12
n A A A 内一连接12n PA PA PA ，，，，那么 个三角形，
边形的内角和定理． P 为n 边形12n A A A 边A 上的任意一点，连接34PA PA ，，……边形被分成了 个三边形的内角和定理．
中，ABC 的三个顶点的坐标分别是()1，0，(12)C ，
，
（1）在图中作出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，其中1A 的坐标为 ；
（2）如果要使以B C D 、、为顶点的三角形与ABC 全等（A D 、不重合），写出所有符合条件的点D 坐标．
25. 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式223x x −+，由于2223(
1)2x x x −+=−+，所以当1x −取任意一对互为相反数的数时，多项式223x x −+的值是相等的，
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