正三角形与其同心圆的若干性质
王芝平  （北京宏志中学  100013） 发表于《数学通报》2004年8 月
笔者近日发现数学通报《数学问题》栏目中的两个问题（1283、1287）有惊人的相似之处，这引起了笔者的兴趣．相似的问题预示着应有相似的解决方法．实际上两个问题的提供者给出的解答方法就是相同的，都是引进辅助角借助三角变换完成解答或证明．而过程繁琐，令读者望而生畏，失去阅读下去的勇气和兴趣．
“见简即用，见繁即变．”（沈括语）有没有简单的方法呢？问题中涉及到点
到直线的距离或两点间距离，直觉告诉我们解析法可以发挥作用．其次，对两个问题还能做一点推广吗？这是一个有趣的问题．
下面是笔者就此类问题探索后的一点收获，供大家参考．
本文约定：以正三角形的外心为圆心的圆叫做这个正三角形的一个同心圆．
命题1．设⊙O 是正△P 1P 2P 3的一个同心圆，⊙O 上任一点P 至直线P 1P 2、P 1P 3、P 2P 3的距离分别为d 1、d 2、d 3．则：
①.当⊙O 的半径不大于正△P 1P 2P 3的内切圆的半径时，d 1+d 2+d 3 是定值；当⊙O 的半径大于正△P 1P 2P 3的内切圆的半径时，d 1+d 2+d 3不是定值；
②.d 12+d 22+d 32是定值；
③.当 n  是大于3的偶数时，d 1n +d 2n +d 3n 不是定值．  证明：以正△P 1P 2P 3的外心O 为原点、以P 2P 3边的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．
设正△P 1P 2P 3的同心圆的方程为：x 2+y 2=4r 2，点P 1的坐标为（0，2a ），则
直线P 1P 3、P 1P 2、P 2P 3的方程分别为： 3x － y+2a ＝0，3x+ y －2a ＝0，y ＝－a ．并设P(x 1，y 1)是⊙O 上任意一点，那么，点P 到直线P 1P 3、P 1P 2、P 2P 3 的距离分别为：
d 1=
2
2311a
y x +-，  d 2=
2
2311a
y x -+，  d 3=a y +1．
①.当⊙O 的半径不大于正△P 1P 2P 3的内切圆的半径时，点P 在正△P
d 1+d 2+d 3＝3a ，显然是定值．
当⊙O 的半径大于正△P 1P 2P 3的内切圆的半径时，
即2r ＞a 时，取⊙O 在直线y ＝－a 下方的点P(x 1，y 1)
（如图1）， 此时d 1+d 2+d 3＝|－a －y 1＋
2
2311a
y x +-＋
2
2311a
y x +--|＝|a －2y 1|不是
定值．                            图1
于正
②. d 12+d 22+d 32=
4
1
{}
211211)23()23(a y x a y x -+++-+21)(a y +
=)(2
32
121y x ++3a 2=6r 2+3a 2 ，是定值 （问题1283中的结论1）．
③. 设n  是大于3的偶数，只须证明，对于⊙O 上不同的两个点所对应的
d 1n +d 2n +d 3n 的值不相等即可．如，当取⊙O 与y 轴的正半轴的交点（2r ，0）为P 时，有，d 1n +d 2n +d 3n =(2r +a )n +2(r －a )n ； 当再取⊙O 与y 轴的负半轴的交点（－2r ，0）为P 时，有d 1n +d 2n +d 3n =(2r －a )n +2(r +a )n ．
令g (n )=(2r +a )n +2(r －a )n －[(2r －a )n +2(r +a )n ] =[(2r +a )n －(2r －a )n  ]－2 [ (r ＋a )n －(r －a )n ] =2[C n 1(2r)n-1a +C n 3(2r)n-3a 3+……+ C n n-1(2r) a n-1]－4[C n 1r n-1a +C n 3r n-3a 3+……+ C n n-1r  a n-1]  = C n 1r n-1a （2n －4）＋C n 3r n-3a 3（2n -2－4）＋……＋C n n -1r  a n-1（22－4）
显然，g (n )＞0，所以d 1n +d 2n +d 3n （ n  是大于3的偶数）不是定值．特别地，
d 14+d 24+d 34不是定值（问题1283中的结论2）．
命题2．设⊙O 是正△P 1P 2P 3的同心圆, 直线l 是⊙O 的任一切线，P 1，P 2，P 3三点到直线l 的距离分别为d 1，d 2，d 3， 则：
①.当⊙O 的半径不小于正△P 1P 2P 3的外接圆的半径时，d 1+d 2+d 3是定值(问题1287的推广)；否则，d 1+d 2+d 3不是定值；
②. d 12+d 22+d 32是定值．
证明：以正△P 1P 2P 3的外心O 为原点、以P 2P 3边的高所在直线为y 轴，建立直角坐标系． 设⊙O 的方程为：x 2+y 2=r 2，P 1，P 2，P 3三点的坐标分别为：（0，
2a ），(－3a ，－a )，(3a ，－a )，直线l 是⊙O 的任一切线，切点为P ),(00y x ，则切线l 的方程为：200r y y x x =+，那么，
d 1=r r ay |2|20- ，d 2=r r ay ax |3|200---，d 3=r r ay ax |
3|200--．
①.当⊙O 的半径不小于正△P 1P 2P 3的外接圆的半径时，P 1，P 2，P 3三点在直
线l 的同侧，所以，
d 1+d 2+d 3=r r ay |2|20-+r r ay ax |3|200---+
r r ay ax |3|200--
=r r ay ax r ay ax r ax r
3|332|1
20020020=--+----（定值）；
当⊙O 的半径小于正△P 1P 2P 3的外接圆的半径时， P 1，P 2，P 3三点不在直线l 的同侧，不妨设P 1，P 2两
点在直线l 的同侧，P 3点在直线l 的另一侧（如图2），
那么，            d 1+d 2+d 3=                                    图2
r r ay |2|20-+r r ay ax |3|200---+r
r ay ax |
3|200--= |32|1
|)3(32|120020020020r ax ay r
r ay ax r ay ax r ay r --=-------，
显然，这是定点（－3a ，2a ）到切线l ：200r y y x x =+的距离，由切点P ),(00y x 的任意性可知，d 1+d 2+d 3不是定值．
②d 12+d 22+d 32＝{}
220022002202)3()3()2(1
r ay ax r ay ax r ay r
--+---+-
＝6a 2+3r 2
(定值)． 笔者猜想：当n ≥3（n ∈N ）时，d 1n +d 2n +d 3n 不是定值．
这只须证明对于⊙O 不同的两条切线(可特殊化)所对应的d 1n +d 2n +d 3n 的值不
相等即可．
命题3．设P 是正△P 1P 2P 3的同心圆上任一点，P 至P 1、P 2，、P 3三点的距离分别为d 1，d 2，d 3， 则： d 12+d 22+d 32与d 14+d 24+d 34是定值．
证明：以正△P 1P 2P 3的外心O 为原点、以P 2P 3边的垂直平分线为y 轴，建立
直角坐标系．
设正△P 1P 2P 3的同心圆的方程为：x 2+y 2=r 2，
并设点P 1的坐标为（0，2a ），则P 2，P 3的坐标
分别为(－3a ,－a )和(3a ,－a )．P(x 1，y 1)是⊙O
上任意一点（如图3），由两点间距离公式得：
d 12= ])2([2121a y x -+，d 22=[21)3(a x ++21)(a y +]，d 32=[21)3(a x -+21)(a y +， 则：                            图3
d 12+d 22+d 32=])2([2121a y x -++[21)3(a x ++21)(a y +]+[21)3(a x -+21)(a y +]
化简得, d 12+d 22+d 32=3r 2+12a 2(定值)；
d 14+d 24+d 34=])2([2121a y x -+2+[21)3(a x ++21)(a y +]2+[21)3(a x -+21)(a y +]2
化简得, d 14+d 24+d 34=3(r 4+16a 2r 2+16a 4) (定值)．
笔者猜想：当n ≠2且 n ≠4时，d 1n +d 2n +d 3n （n ∈N ）不是定值．
这只须证明，对于⊙O上不同的两个点(可特殊化)所对应的d1n+d2n+d3n的值不相等即可．