实变函数试题
一，填空题
1. 设, , 则.
3. 设是中函数的图形上的点所组成的 集合，则，.
4. 若集合满足, 则为集.
,.
6. 设使闭区间中的全体无理数集, 则.
7. 若, 则说在上.
8. 设, ,若,则称是的聚点.
9. 设是上几乎处处有限的可测函数列,是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有
, 则称在上依测度收敛于.
10. 设, , 则的子列, 使得.
二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例.
1. 若可测,且,则.
2. 设为点集, , 则是的外点.
3. 点集于正的闭集.
4. 任意多个闭集的并集是闭集.
5. 若,满足, 则为无限集合.
三, 计算证明题
1. 证明:
2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明为可数集.
3. 设,且为可测集,.根据题意, 若有
, 证明是可测集.
4. 设是集,.
求.
5. 设函数在集中点上取值为, 而在的余集中长为的构成区间上取值为, , 求
.
6. 求极限:.
实变函数试题解答
一 填空题
1..
2.
3.;.
4. 闭集.
5.
6..
7. 几乎处处收敛于或收敛于.
8. 对有.
9.
10. 于.
二 判断题
1. . 例如, , , 则且,但.
2. . 例如, , 但0不是的外点.
3. . 由于.
4. . 例如, 在中, ,是一系列的闭集, 但是不是闭集.
5. . 因为若为有界集合, 则存在有限区间, , 使得, 则于.
三, 计算证明题.
1. 证明如下:
2. 中任何一个元素可以由球心, 半径为唯一确定, , ,跑遍所有的正有理数,跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故为可数集.
3. 令, 则且为可测集, 于是对于, 都有, 故
,
令, 得到, 故可测. 从而
可测.
4. 已知, 令, 则
.
5. 将积分区间分为两两不相交的集合:, , , 其中为集,是的余集中一切长为的构成区间(共有个)之并. 由积分的可数可加性, 并且注意到题中的, 可得
6. 因为在上连续,存在且与的值相等. 易知
由于在上非负可测， 且广义积分收敛，则
发布评论